비조화비

틀:위키데이터 속성 추적 사영기하학에서, 비조화비(非調和比, 틀:Llang) 또는 복비(複比, 틀:Llang)는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다.

정의

같은 실수 또는 복소 직선 위에 있는 네 점 $z_1,z_2,z_3,z_4$의 비조화비 $(z_1,z_2;z_3,z_4)$는 다음과 같다.

$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}$

대칭군의 작용

네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 $\lambda$는 다음과 같이 변환한다.

$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\lambda$		$(z_1,z_2;z_4,z_3)=1/\lambda$
$(z_1,z_3;z_4,z_2)=1/(1-\lambda )$		$(z_1,z_3;z_2,z_4)=1-\lambda$
$(z_1,z_4;z_3,z_2)=\lambda /(\lambda -1)$		$(z_1,z_4;z_2,z_3)=(\lambda -1)/\lambda$

이는 대칭군 $S_4$의 작용으로 볼 수 있다. 다만, $S_4$ 가운데 일부 원소들은 자명하게 작용한다.

$(z_1,z_2;z_3,z_4)=(z_2,z_1;z_4,z_3)=(z_3,z_4;z_1,z_2)=(z_4,z_3;z_2,z_1)$

$S_4$의 작용의 핵은 클라인 4원군 $(\mathbb{Z}/2{)}^2$이며, 따라서 이는 사실 $S_4/(\mathbb{Z}/2{)}^2\cong S_3$의 작용이 된다. 이 군을 비조화군(非調和群, 틀:Llang)이라고 하며, 이는 모듈러 군 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})=⟨S,T|S^2=(ST{)}^3=1⟩$의 꼬임 부분군 $⟨S,ST|S^2=(ST{)}^3=1⟩$에 대응한다.

조화비

비조화군의 작용의 궤도 $\{{\lambda }^{\pm 1},(1-\lambda {)}^{\pm 1},(\lambda /(\lambda -1){)}^{\pm 1}\}$는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 크기가 이보다 작을 수 있다.

이러한 궤도는 세 가지가 있다.

• 첫 번째 예외적 궤도는 $\{0,1,\mathrm{\infty }\}$이며, 이는 네 좌표 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 가운데 둘이 서로 겹치는 경우이다.
• 두 번째 예외적 궤도는 $\{-1,1/2,2\}$이며, 이를 조화비(調和比, 틀:Llang)라고 한다. 이는 차수가 2인 원소 $\lambda \mapsto 1/\lambda$, $\lambda \mapsto 1-\lambda$, $\lambda \mapsto \lambda /(1-\lambda )$에 대응한다.
• 세 번째로, 복소수체에 대한 경우 궤도 $\{\exp (\pm \pi i/3)\}$가 있다. 이는 차수가 3인 원소 $\lambda \mapsto 1/(1-\lambda )$ 및 $\lambda \mapsto (\lambda -1)/\lambda$에 대응한다.

응용

쌍곡기하학의 벨트라미-클라인 모형에서, 두 점 사이의 쌍곡 거리는 이 두 점 사이의 (유클리드) 비조화비에 의해 주어진다.

복소 평면에서, 세 개의 점 $e_1,e_2,e_3\in ℂ$을 잡으면, 바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(-;{\omega }_1,{\omega }_2):ℂ/⟨{\omega }_1,{\omega }_2⟩\to ℂ$는 $\{e_1,e_2,e_3,\hat{\mathrm{\infty }}\}$를 분지점으로 하는, 복소 평면에서 타원 곡선 $ℂ/⟨{\omega }_1,{\omega }_2⟩$으로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 분지점들의 비조화비는 모듈러 람다 함수에 의해 주어지며, 그 값은 비조화군의 작용에 따라 변환한다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드