모듈러 람다 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 모듈러 람다 함수(틀:Llang)는 합동 부분군 $\mathrm{\Gamma }(2)$에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

정의

$ℍ$가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 $\lambda :ℍ\to ℂ$는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$이라면,

$\lambda (\tau )=\frac{\mathrm{\wp }({\omega }_1/2+{\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)-\mathrm{\wp }({\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)}{\mathrm{\wp }({\omega }_1/2;{\omega }_1,{\omega }_2)-\mathrm{\wp }({\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)}$

이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\lambda (\tau )=\frac{{\theta }_2^4(0,\tau )}{{\theta }_3^4(0,\tau )}={\left(\frac{\sqrt{2}\eta (\tau /2){\eta }^2(2\tau )}{{\eta }^3(\tau )}\right)}^8$

성질

바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(-;{\omega }_1,{\omega }_2):ℂ/⟨{\omega }_1,{\omega }_2⟩\to \widehat{ℂ}$는 타원 곡선$ℂ/⟨1,\tau ⟩$에서 리만 구면 $\widehat{ℂ}$으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점

$e_1=\mathrm{\wp }({\omega }_1/2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$e_2=\mathrm{\wp }({\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$e_3=\mathrm{\wp }({\omega }_1/2+{\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$e_4=\mathrm{\wp }(0;{\omega }_1,{\omega }_2)=\hat{\mathrm{\infty }}$

에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.

$\lambda ({\omega }_2/{\omega }_1)=\frac{(e_3-e_2)(e_4-e_1)}{(e_1-e_2)(e_4-e_3)}=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}$

이에 따라, $\lambda$는 비조화군(anharmonic group) $\mathrm{\Gamma }(1)/\mathrm{\Gamma }(2)\cong S_3$의 작용에 따라 변환한다.

함수 방정식

모듈러 람다 함수 $\lambda (\tau )$는 합동 부분군 $\mathrm{\Gamma }(2)$에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 $\tau \in ℂ$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\lambda (\tau +2)=\lambda (\tau /(1-2\tau ))=\lambda (\tau )$

이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 $X(2)=ℍ/\mathrm{\Gamma }(2)$와 리만 구면 $\widehat{ℂ}$ 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다. 모듈러 군 $\mathrm{\Gamma }(1)=\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

$\lambda (\tau +1)=\frac{\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}$

$\lambda (-1/\tau )=\lambda (\tau )-1$

급수 전개

$q=\exp (\pi i\tau )$에 대한 급수 전개는 다음과 같다. 틀:OEIS

$\lambda (\tau )=16q-128q^2+704q^3-3072q^4+11488q^5-38400q^6+\dots$

타원의 모듈러스

정의 및 계산

함수 λ*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.

$\frac{K[\sqrt{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}]}{K[{\lambda }^{*}(x)]}=\sqrt{x}$

K는 제 1 종 완전 타원 적분이다.

함수 λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다:

${\lambda }^{*}(x)=\frac{{\vartheta }_2^2[0;\exp (-\pi \sqrt{x})]}{{\vartheta }_3^2[0;\exp (-\pi \sqrt{x})]}$

${\lambda }^{*}(x)=\{\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-(a+1/2{)}^2\pi \sqrt{x}]{\}}^2[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-a^2\pi \sqrt{x}){]}^{-2}$

${\lambda }^{*}(x)=\{\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sech}[(a+1/2)\pi \sqrt{x}]\}[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sech}(a\pi \sqrt{x}){]}^{-1}$

함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다:

${\lambda }^{*}(x)=\sqrt{\lambda (i\sqrt{x})}$

성질 및 값

양의 유리수의 모든 λ*(x)-값은 대수적이다.

${\lambda }^{*}(x\in {\mathbb{Q}}^{+})\in {𝔸}^{+}$

다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다:

$\sqrt{n}=\sum _{a=1}^n\mathrm{dn}\left\{\frac{2a}{n}K\right[{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{n}\right)];{\lambda }^{*}(\frac{1}{n}\left)\right\}$

표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다.

하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다.

${\lambda }^{*}(n^{2}x)={\lambda }^{*}(x{)}^n\prod _{a=1}^n\mathrm{sn}{\{\frac{2a-1}{n}K[{\lambda }^{*}(x)];{\lambda }^{*}(x)\}}^2$

표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다.

그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다.

이 모든 방정식도 유효하다:

${\lambda }^{*}(x{)}^2+{\lambda }^{*}(1/x{)}^2=1$

${\lambda }^{*}(4x)=\frac{1-\sqrt{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}}{1+\sqrt{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}}=\tan \{\arcsin [{\lambda }^{*}(x)]/2{\}}^2$

$\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]\}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(4/x)]\}=1$

${\lambda }^{*}(x){\lambda }^{*}(4/x)+{\lambda }^{*}(x)+{\lambda }^{*}(4/x)=1$

${\lambda }^{*}(x)-{\lambda }^{*}(9x)=2{\lambda }^{*}(x{)}^{1/4}{\lambda }^{*}(9x{)}^{1/4}-2{\lambda }^{*}(x{)}^{3/4}{\lambda }^{*}(9x{)}^{3/4}$

$\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]\}-\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(9x)]\}=$

$=2\sqrt{2}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{1/4}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(9x)]{\}}^{1/4}+2\sqrt{2}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{3/4}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(9x)]{\}}^{3/4}$

$\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{1/2}-\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(25x)]{\}}^{1/2}=$

$=2\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{1/12}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(25x)]{\}}^{1/12}+2\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{5/12}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(25x)]{\}}^{5/12}$

홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

${\lambda }^{*}(1)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

${\lambda }^{*}(9)=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})$

${\lambda }^{*}(17)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{17}-\frac{1}{4}\sqrt{10\sqrt{17}+26}{)}^3]\}$

${\lambda }^{*}(25)=\frac{1}{2}\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)(3-2\sqrt[4]{5})$

${\lambda }^{*}(33)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(10-3\sqrt{11})(2-\sqrt{3}{)}^3]\}$

${\lambda }^{*}(41)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(\frac{1}{8}\sqrt{41}+\frac{5}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{2\sqrt{41}+10}-\frac{1}{4}\sqrt{\sqrt{58\sqrt{41}+370}+3\sqrt{41}+3}{)}^6]\}$

${\lambda }^{*}(49)=\frac{1}{1024}\sqrt{2}[2\sqrt{2}-\sqrt[8]{28}\sqrt{3+\sqrt{7}}(\sqrt[4]{28}-\sqrt{7}+1){]}^4$

홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

${\lambda }^{*}(5)=\sin [\frac{1}{2}\arcsin (\sqrt{5}-2)]$

${\lambda }^{*}(13)=\sin [\frac{1}{2}\arcsin (5\sqrt{13}-18)]$

${\lambda }^{*}(21)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(8-3\sqrt{7})(2\sqrt{7}-3\sqrt{3})]\}$

홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

${\lambda }^{*}(3)=\frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$

${\lambda }^{*}(7)=\frac{1}{8}\sqrt{2}(3-\sqrt{7})$

${\lambda }^{*}(11)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(\sqrt{11}+3)(\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}+2\sqrt{11}}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}-2\sqrt{11}}+\frac{1}{3}\sqrt{11}-1{)}^4$

${\lambda }^{*}(15)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$

${\lambda }^{*}(19)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(3\sqrt{19}+13)[\frac{1}{6}(\sqrt{19}-2+\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{19}}-\frac{1}{6}(\sqrt{19}-2-\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{19}}-\frac{1}{3}(5-\sqrt{19}){]}^4$

${\lambda }^{*}(23)=\frac{1}{32}\sqrt{2}(5+\sqrt{23})[\frac{2}{3}+\frac{1}{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{100-12\sqrt{69}}-\frac{1}{6}(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}{]}^4$

짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

${\lambda }^{*}(2)=\sqrt{2}-1$

${\lambda }^{*}(10)=(\sqrt{10}-3)(\sqrt{2}-1{)}^2$

${\lambda }^{*}(18)=(2-\sqrt{3}{)}^2(\sqrt{2}-1{)}^3$

${\lambda }^{*}(26)=(\sqrt{26}+5)(\sqrt{2}-1{)}^2\tan [\frac{1}{4}\pi -\arctan (\frac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}}+\frac{1}{6}\sqrt{26}-\frac{1}{2}\sqrt{2}){]}^4$

${\lambda }^{*}(34)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(\frac{1}{4}\sqrt{14+2\sqrt{17}}-\frac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17}-2}{)}^{12}]\}$

${\lambda }^{*}(42)=(8-3\sqrt{7})(\sqrt{7}-\sqrt{6})(2-\sqrt{3}{)}^2(\sqrt{2}-1{)}^2$

${\lambda }^{*}(50)=(\sqrt{2}-1)\tan [\arctan (\frac{1}{3}\sqrt{5}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{30}+4\sqrt{5}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{30}-4\sqrt{5}})-\frac{1}{8}\pi {]}^4$

${\lambda }^{*}(58)=(13\sqrt{58}-99)(\sqrt{2}-1{)}^6$

${\lambda }^{*}(66)=\tan \{\frac{1}{4}\arcsin [(\frac{13}{62}+\frac{1}{186}\sqrt{33}-\frac{1}{186}\sqrt{3426\sqrt{33}-17790}{)}^2]\}$

짝수 (8z+6) 위치의 람다 값:

${\lambda }^{*}(6)=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

${\lambda }^{*}(14)=\tan [\frac{1}{4}\arcsin (\frac{8}{7}\sqrt{2}-\frac{11}{7})]$

${\lambda }^{*}(22)=(10-3\sqrt{11})(3\sqrt{11}-7\sqrt{2})$

${\lambda }^{*}(30)=(4-\sqrt{15})(\sqrt{6}-\sqrt{5})(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2$

${\lambda }^{*}(38)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(\sqrt{2}-1{)}^6(\frac{1}{6}\sqrt[3]{12\sqrt{114}+12\sqrt{57}+52\sqrt{2}+36}-\frac{1}{6}\sqrt[3]{12\sqrt{114}+12\sqrt{57}-52\sqrt{2}-36}+\frac{1}{3}\sqrt{2}{)}^{12}]\}$

${\lambda }^{*}(46)=\tan [\frac{1}{4}\arcsin (\frac{104}{207}\sqrt{2}-\frac{49}{69})]$

${\lambda }^{*}(54)=(2-\sqrt{3}{)}^3(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^3\tan [\arctan (\frac{2}{3}\sqrt{3}\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}+\frac{2}{3}\sqrt{6}\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{3}\sqrt{6}-\frac{1}{3}\sqrt{3})-\frac{1}{4}\pi {]}^4$

${\lambda }^{*}(62)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(\frac{1}{4}\sqrt{9+5\sqrt{2}}+\frac{1}{4}\sqrt{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{14\sqrt{2}+19}+6\sqrt{2}-6}{)}^{12}]\}$

${\lambda }^{*}(70)=(3\sqrt{14}-5\sqrt{5})(8-3\sqrt{7})(6-\sqrt{35})(2\sqrt{2}-\sqrt{7}{)}^2$

짝수 4z 위치의 람다 값:

${\lambda }^{*}(4)=(\sqrt{2}-1{)}^2$

${\lambda }^{*}(8)=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}+2}{)}^2$

${\lambda }^{*}(12)=(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2(\sqrt{2}-1{)}^2$

${\lambda }^{*}(16)=(\sqrt{2}+1{)}^2(\sqrt[4]{2}-1{)}^4$

참고 문헌

• 틀:인용
• 틀:인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• http://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf
• https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf