바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수의 그래프. $(g_2,g_3)=(1+i,2-3i)$인 경우이며, 이 경우 주기는 $({\omega }_1,{\omega }_2)\approx (0.79+2.26i,2.44+0.31i)$이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다.

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 틀:Llang)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 $\mathrm{\wp }$.

정의

바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

격자합

$z\in ℂ$, $\tau \in ℍ/\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(z;\tau )$는 다음과 같다.

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(\frac{1}{(z+m+\tau n{)}^2}-\frac{1}{(m+\tau n{)}^2})$

타원곡선 모듈러스 $\tau$ 대신 격자 주기 ${\omega }_1,{\omega }_2$를 써서 다음과 같이 $\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2$)를 정의하기도 한다.

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(\frac{1}{(z+m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^2})={\omega }_1^{-2}\mathrm{\wp }(z/{\omega }_1;{\omega }_2/{\omega }_1)$

미분 방정식

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z;{\omega }_1,{\omega }_2{)}^2=4\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2{)}^3-g_2({\omega }_1,{\omega }_2)\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)-g_3({\omega }_1,{\omega }_2)$

여기서 ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z;{\omega }_1,{\omega }_{2}u)=\frac{\partial \mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)}{\partial z}$이다. $g_2$와 $g_3$는 타원 불변량(틀:Llang)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 $({\omega }_1,{\omega }_2)$와 다음과 같은 관계를 가진다.

$g_2({\omega }_1,{\omega }_2)=60\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^{-4}$

$g_3({\omega }_1,{\omega }_2)=140\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^{-6}$

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

$f:ℂ/\mathrm{\Lambda }\to {ℂ\mathbb{P}}^2$

$f:z\mapsto [1,\mathrm{\wp }(z;\tau ),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z;\tau )]$

를 정의하면, 이는 원환면 $ℂ/\mathrm{\Lambda }$로부터 타원곡선 $y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 $\mathrm{\Lambda }$는 $\tau$에 대한 격자

$\mathrm{\Lambda }=\{m+n\tau :m,n\in \mathbb{Z}\}$

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 $n_1,n_2\in \mathbb{Z}$에 대하여,

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }(z+n_1{\omega }_1+n_2{\omega }_2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

또한, 모듈러 매개변수 $\tau$에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\mathrm{\wp }(z;\tau +1)=\mathrm{\wp }(z;-1/\tau )$

또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }(-z;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$\mathrm{\wp };(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(-z;{\omega }_1,{\omega }_2)$

바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(-;{\omega }_1,{\omega }_2)$는 타원 곡선 $ℂ/⟨{\omega }_1,{\omega }_2⟩$에서 리만 구면 $\widehat{ℂ}$로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 $e_1,e_2,e_3$이라고 쓰며, 다음과 같다.

$\hat{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\wp }(0;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$e_1({\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }({\omega }_1/2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$e_2({\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }({\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

$e_3({\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }({\omega }_1/2+{\omega }_2/2;{\omega }_1,{\omega }_2)$

덧셈 공식

삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식(틀:Llang)을 만족시킨다.

$\mathrm{\wp }(z+y)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)}\right)}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)$

만약 $z=y$인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}\right)}^2-2\mathrm{\wp }(z)$

야코비 타원함수와의 관계

바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

$\mathrm{\wp }(z)=e_3+\frac{e_1-e_3}{{\mathrm{sn}}^2(w;m)}=e_2+(e_1-e_3)\frac{{\mathrm{dn}}^2(w;m)}{{\mathrm{sn}}^2(w;m)}=e_1+(e_1-e_3)\frac{{\mathrm{cn}}^2(w;m)}{{\mathrm{sn}}^2(w;m)}$

여기서

$w=z\sqrt{e_1-e_3}$

$m=(e_2-e_3)/(e_1-e_3)$

이다.

역함수

바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다.

$u=\underset{\mathrm{\wp }(u;\tau )}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2(\tau )s-g_3(\tau )}}$

이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, $\{e_1,e_2,e_3,\hat{\mathrm{\infty }}\}$에서 분지점을 갖는다.

역사

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

같이 보기

• 바이어슈트라스 제타 함수
• $j$-불변량

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드