모리타 동치

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 모리타 동치([森田]同値, 틀:Llang)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의

모리타 동치

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $U_{R}$ 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 $(R, S, U, V, ϕ, ψ)$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$S = {hom}_{R} (U_{R}, U_{R})$
$_{R} V = {hom}_{R} (_{S} U_{R},_{R} R_{R})$
$ϕ : U \otimes_{R} V \to S$ , $(u \otimes v) \mapsto (u^{'} \mapsto u v (u^{'}))$
$ψ : V \otimes_{S} U \to R$ , $(v \otimes u) \mapsto v (u)$

$U_{R}$ 가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, $U_{R}$ 에 대응되는 모리타 문맥 $(R, S, U, V, ϕ, χ)$ 에 대하여,

$\otimes_{R} V_{S} : {Mod}_{R} ⇄ {Mod}_{S} : \otimes_{S} U_{R}$ 는 범주의 동치를 이룬다.
$_{S} U \otimes_{R} :_{R} Mod ⇄_{S} {Mod}_{S} :_{S} V \otimes_{R}$ 는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

F : {Mod}_{R} ⇄ {Mod}_{S} : G

가 주어졌을 때,

$_{S} U_{R} = G (_{S} S_{S})$
$_{R} V_{S} = F (_{R} R_{R})$

로 놓으면, $U_{R}$ 는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 $U_{R}$ 에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

F ≅ \otimes_{R} V

G ≅ \otimes_{S} U

또한, 임의의 두 환 $(R, S)$ 에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

가법 동치 ${Mod}_{R} \to {Mod}_{S}$ 의 (자연 동형에 대한) 동형류
다음 두 조건을 만족시키는 (S,R)-쌍가군 SUR들의 동형류
- $U_{R}$ 는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상이다.
- $_{S} U_{R}$ 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

이와 같이, 두 환 $R$ , $S$ 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(틀:Llang)라고 하며,

R \approx S

로 표기한다.

모리타 쌍대성

쌍가군 $_{S} U_{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

{hom}_{R} ((-)_{R},_{S} U_{R}) : {Mod}_{R} \to_{S} {Mod}^{op}

{hom}_{S} (_{S} (-),_{S} U_{R}) :_{S} Mod \to {Mod}_{R}^{op}

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

{hom}_{R} ((-)_{R},_{S} U_{R}) ⊣ {hom}_{S} (_{S} (-),_{S} U_{R})

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

M_{R} \to {hom}_{S} ({hom}_{R} (M_{R},_{S} U_{R}),_{S} U_{R})

이 동형 사상일 경우, $R$ -오른쪽 가군 $M_{R}$ 를 $U$ -반사 가군(틀:Llang)이라고 하자. 마찬가지로 $S$ -왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 ${Mod}_{R} [U]$ 및 $_{S} Mod [U]$ 로 표기하자. 이 경우, ${Mod}_{R} [U]$ 와 $_{S} Mod [U]^{op}$ 는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주 $𝒜$ 의 충만한 부분 가법 범주 $𝒞$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

짧은 완전열

0 \to A \to B \to C \to 0

에 대하여,

A, C \in 𝒞

라면

B \in 𝒞

이다.

쌍가군 $_{S} U_{R}$ 에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

${Mod}_{R} [U]$ 는 ${Mod}_{R}$ 의 세르 부분 범주이며, $_{S} Mod [U]$ 는 $_{S} Mod$ 의 세르 부분 범주이며, $R_{R} \in {Mod}_{R} [U]$ 이며, $_{S} S \in_{S} Mod [U]$ 이다.
$R_{R}$ , $U_{R}$ , $_{S} S$ , $_{S} U$ 의 모든 몫가군은 $U$ -반사 가군이다.
$U_{R}$ 는 단사 가군이자 ${Mod}_{R}$ 의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 $_{S} U$ 는 단사 가군이자 $_{S} Mod$ 의 쌍대 생성 대상이며, 또한 $_{S} U_{R}$ 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우, $U$ 가 모리타 쌍대성(틀:Llang)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 $U$ -반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 $U$ 및 $U^{'}$ 에 대하여, $U$ -반사 가군인지 여부는 $U^{'}$ -반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 $U$ 에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

예

모든 환 $R$ 및 양의 정수 $n$ 에 대하여, $R$ 는 $Mat (n; R)$ 와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 $R$ -자유 가군 $U = R^{\oplus n}$ 에 의하여 생성된다. 즉,

$S = {End}_{R} (R^{\oplus n}) = Mat (n; R)$
$_{R} U_{S} = R^{\oplus n}$ . 이는 행벡터(= $1 \times n$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
$_{S} V_{R} = R^{\oplus n}$ . 이는 열벡터(= $n \times 1$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
$ϕ :_{R} U \otimes_{S} V_{R} \to_{R} R_{R}$ 는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
$ψ :_{S} V \otimes_{R} U_{S} \to_{S} S_{S}$ 는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 $R$ 는 유한 개의 나눗셈환 $D_{1}, \dots, D_{k}$ 위의 행렬환 $Mat (n_{i}, D_{i})$ 들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

R ≅ Mat (n_{1}; D_{1}) \times \dots \times Mat (n_{k}; D_{k}) \approx D_{1} \times \dots \times D_{k}

역사

모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.^[1]

각주

틀:각주

외부 링크

↑ 틀:저널 인용

[1] 틀:저널 인용

[1]

모리타 동치

목차

정의