반단순환

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 반단순환(半單純環, 틀:Llang)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

정의

환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반단순환이라고 한다.

• 스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• 스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• $R$의 왼쪽 가군들의 범주 $R\text{-Mod}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• $R$의 오른쪽 가군들의 범주 $\text{Mod-}R$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• $R$ 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다.
• $R$ 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다.
• 왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.)
• (아르틴-웨더번 정리 틀:Llang) 유한 개의 나눗셈환들 $D_1,\dots ,D_k$에 대한 직접곱 $\prod _i\mathrm{Mat}(n_i;D_i)$과 동형이다.

성질

모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.틀:Rp

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	左·右 원시환	⇒	소환

만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.틀:Rp

반단순환	⇔	아르틴 반원시환	⇔	아르틴 반소환
		⇑
아르틴 단순환	⇔	아르틴 원시환	⇔	아르틴 소환

단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 왼쪽 아르틴 환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이다.

특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 아르틴 축소환이다.
• 유한 개의 체들의 직접곱이다.

유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다.

분류

반단순환의 구조는 아르틴-웨더번 정리(틀:Llang)로서 완전히 알려져 있다.틀:Rp 구체적으로, 반단순환 $R$가 주어졌을 때, 정의에 따라 ${}_{R}R$는 반단순 가군이며, 이를 유한 개의 단순 가군의 직합으로 나타내어진다.

${}_{R}R=\underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}{}_R{M}_i^{\oplus n_i}(i\ne j⟹M_i\cong ̸M_j)$

이 경우,

$R^{\mathrm{op}}\cong \mathrm{End}{(}_{R}R)\cong \prod _{i=1}^k\mathrm{Mat}(n_i;{\mathrm{End}}_R(M_i))$

$R\cong \mathrm{End}{(}_{R}R{)}^{\mathrm{op}}\cong \prod _{i=1}^k\mathrm{Mat}(n_i;\mathrm{End}{(}_R{M}_i){)}^{\mathrm{op}}\cong \prod _{i=1}^k\mathrm{Mat}(n_i;\mathrm{End}{(}_R{M}_i{)}^{\mathrm{op}})$

가 된다. 슈어 보조정리에 의하여 $\mathrm{End}{(}_R{M}_i{)}^{\mathrm{op}}$는 나눗셈환이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

예

정수환 $\mathbb{Z}$는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합인데, 이렇게 표기될 수 없는 아벨 군들이 존재한다.

바일 대수 $\mathbb{Q}⟨x,p⟩/(xp-px-1)$는 단순환이자 영역이지만, 반단순환이 아니다.

복소수 행렬 대수

자연수 $n\in \mathbb{N}$이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 $n\times n$ 행렬 대수

$𝒜\subseteq \mathrm{Mat}(n,n;ℂ)={\mathrm{End}}_{ℂ}({ℂ}^n)$

가 주어졌을 때, 만약

$𝒜=\{A^{*}:A\in 𝒜\}$

라면, $𝒜$는 반단순 대수이다. (여기서 $(-{)}^{*}$는 에르미트 수반이다.)

증명:

$𝒜$는 유한 차원 복소수 결합 대수이므로, 아르틴 환이다. 따라서 $𝒜$가 반원시환임(즉, 제이컵슨 근기가 $\{0\}$임)을 보이면 족하다.

임의의 $M\in \sqrt{𝒜}$라고 하자. 그렇다면,

1. $𝒜$가 유한 차원 결합 대수이므로, 제이컵슨 근기 $\mathrm{rad}(𝒜)$는 멱영 아이디얼이다.
2. 따라서 $(M^{*}M{)}^k=0$인 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$가 존재한다.
3. 그런데 $M^{*}M$은 양의 준정부호 행렬이며, 따라서 $M^{*}M=0$이다.
4. 이에 따라, 임의의 $v\in {ℂ}^n$에 대하여 $\Vert Mv{\Vert }^2=v^{*}{M}^{*}Mv=0$이며, 즉 $Mv=0$이다.
5. 따라서 $M=0$이다.

마슈케 정리

유한군 $G$와 체 $K$가 주어졌고, 또

$\mathrm{char}K\nmid |G|$

라고 하자. (즉, $G$의 크기는 $K$의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 $K[G]$를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 $K$-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(틀:Llang)에 따르면, 군환 $K[G]$는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(틀:Llang, 1853~1908)가 증명하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:웹 인용
• 틀:수학노트