라돈 측도

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 라돈 측도(Radon測度, 틀:Llang)는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다.

정의

정칙 측도

하우스도르프 공간 $X$ 위의 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }\subseteq 𝒫(X)$ 위의 측도 $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$가 주어졌다고 하자. $X$의 콤팩트 집합들의 집합족을 $\mathrm{Compact}(X)\subseteq \mathrm{Pow}(X)$로, 열린집합들의 집합족을 $\mathrm{Open}(X)\subseteq \mathrm{Pow}(X)$로 표기하자.

가측 집합 $S\in \mathrm{\Sigma }$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mu$-내부 정칙 가측 집합(틀:Llang)이라고 한다.

$\mu (S)={\sup }_{K\in \mathrm{Compact}(X)\cap \mathrm{\Sigma }}^{K\subseteq S}\mu (K)$

가측 집합 $S\in \mathrm{\Sigma }$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mu$-외부 정칙 가측 집합(틀:Llang)이라고 한다.

$\mu (S)={\inf }_{U\in \mathrm{Open}(X)\cap \mathrm{\Sigma }}^{U\supseteq S}\mu (U)$

만약 모든 가측 집합이 $\mu$-내부 정칙 가측 집합이라면, $\mu$를 내부 정칙 측도(틀:Llang)라고 한다. 만약 모든 가측 집합이 $\mu$-외부 정칙 가측 집합이라면, $\mu$를 외부 정칙 측도(틀:Llang)라고 한다.

라돈 측도

$X$가 하우스도르프 공간이라고 하자. 보렐 시그마 대수 $ℬ(X)$ 위의 측도 $\mu$가 다음을 만족시키면 라돈 측도라고 한다.

• (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 보렐 집합은 $\mu$-내부 정칙 집합이다.
• (국소 유한성) 모든 점 $x\in X$에 대하여, $\mu (U_x)<\mathrm{\infty }$인 열린 근방 $U_x\ni x$가 존재한다.

성질

$X$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합 $K$에 대하여, $K$를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합 ${𝒞}_K(X;ℝ)$은 노름

$\Vert f\Vert =\underset{x\in K}{\max }|f(x)|$

에 따라서 바나흐 공간을 이룬다. $X$ 위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합 ${𝒞}_{\text{comp}}(X;ℝ)$을 생각하자. 그렇다면

${𝒞}_{\text{comp}}(X;ℝ)=\bigcup _{K\text{ compact}}{𝒞}_K(X;ℝ)$

이므로, ${𝒞}_{\text{comp}}(X;ℝ)$는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.

어떤 실수값 함수 공간 $V\subseteq {ℝ}^X$위의 범함수 $\varphi :V\to ℝ$에 대하여, 만약 $f(x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in X$인 $f\in V$에 대하여 $\varphi (f)\ge 0$이라면, $\varphi$를 음이 아닌 범함수(틀:Llang)라고 하자. 그렇다면 $X$ 위의 라돈 측도들의 집합과 ${𝒞}_K(X;ℝ)$ 위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 $\mu$에 대하여,

$f\in {𝒞}_{\text{comp}}(X;ℝ)\mapsto \underset{X}{\int }fd\mu$

는 음이 아닌 범함수이다.

예

보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.

임의의 하우스도르프 공간 $X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, $X$의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도 ${\delta }_x$를 다음과 같이 정의하자.

${\delta }_x(B)=\{\begin{array}{cc}1& x\in B\\ 0& x\in ̸B\end{array}\mathrm{\forall }B\in ℬ(X)$

그렇다면 이는 라돈 측도이다.

유클리드 공간 위의, 보렐 시그마 대수에 국한시킨 셈측도는 라돈 측도가 아니다.

역사

요한 라돈의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드