라리타-슈윙거 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:장방정식 라리타-슈윙거 방정식(틀:Llang)은 그래비티노와 같은 스핀 1½인 페르미온을 다루는 파동 방정식이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 스핀 다양체 $(M,g)$의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) 스피너 다발 $S\twoheadrightarrow M$
• 필바인 $E\twoheadrightarrow M$, $e_{\mu }^a\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;E)$

그렇다면,

${\psi }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;S)$

에 대하여 다음과 같은 편미분 방정식을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) 라리타-슈윙거 방정식이라고 한다.틀:Rp

${\gamma }^{\mu }{\partial }_{[\mu }{\psi }_{\nu ]}=0$

이는 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도된다.

$ℒ=-\int {\mathrm{d}}^{D}x(\det e){\overline{\psi }}_{\mu }{\gamma }^{\mu \nu \rho }{\partial }_{\nu }{\psi }_{\rho }$

${\gamma }^{\mu \nu \rho }=\frac{1}{6}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\mu }-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\rho }+{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu })$

일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다.

성질

게이지 변환

$2^n$개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 라리타-슈윙거 장은 (질량 껍질 밖에서) 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.틀:Rp§5

$2^n(D-1)$

즉, 이는 $2^n$차원의 게이지 변환

${\psi }_{\mu }\mapsto {\psi }_{\mu }+{\partial }_{\mu }ϵ$

을 겪는다.

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 $\mathrm{SO}(1,3)$(의 범피복군)의

$(1,\frac{1}{2})\oplus (\frac{1}{2},1)$

표현에 해당한다.

마찬가지로, (1,5)차원의 경우, 바일 스피너는 4개의 복소수 성분을 가지며, 이에 기반하는 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 $\mathrm{SO}(1,5)$의 콤팩트화 $\mathrm{Spin}(6)\cong \mathrm{SU}(4)$의 20차원 표현

${\mathrm{Sym}}^3\mathrm{𝟒}=\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟎}$

에 해당한다.

마찬가지로, (1,10)차원의 경우, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이 경우 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

질량 껍질

질량 껍질 위에서, $2^n$개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.틀:Rp

$\frac{1}{2}(D-3)2^n$

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 중력장은 $\frac{1}{2}D(D-3)=2$개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원 $𝒩=1$ 초대칭에서 이들은 하나의 초다중항을 이룰 수 있다.

역사

1941년에 미국의 윌리엄 라리타(틀:Llang, 1907~1999)와 줄리언 슈윙거가 도입하였다.

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab