힐베르트 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, 틀:Llang)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

정의

힐베르트 급수와 힐베르트 함수

체 $K$ 위의 등급 벡터 공간 $S$가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.

$S=\underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}{S}_i$

${\dim }_K{S}_i<{\mathrm{\aleph }}_0\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}$

$S$의 힐베르트 급수(Hilbert級數, 틀:Llang) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, 틀:Llang)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

${\mathrm{HS}}_S(t)=\sum _{i\in \mathbb{N}}({\dim }_K{S}_i)t^i\in \mathbb{Z}[[t]]$

$S$의 힐베르트 함수(Hilbert函數, 틀:Llang)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{HF}}_S:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

${\mathrm{HF}}_S:i\mapsto {\dim }_K{S}_i$

힐베르트 다항식

만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 ${\mathrm{HP}}_S(t)\in \mathbb{Q}[t]$ 및 자연수 $r\in \mathbb{N}$가 존재한다면, 이를 $S$의 힐베르트 다항식이라고 한다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{HP}}_S(i)={\mathrm{HF}}_S(i)\mathrm{\forall }i\ge r$

위 조건을 만족시키는 최소의 $r$를 $S$의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

가법성

힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 $K$ 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 $A$, $B$, $C$가 주어졌고, 이들이 등급 $K$-가군의 짧은 완전열

$0\to A\to B\to C\to 0$

을 이룬다면, 다음이 성립한다.

${\mathrm{HS}}_A(t)+{\mathrm{HS}}_C(t)={\mathrm{HS}}_B(t)$

${\mathrm{HP}}_A(t)+{\mathrm{HP}}_C(t)={\mathrm{HP}}_B(t)$

이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

힐베르트-세르 정리

$S$가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리(틀:Llang)에 따르면, $S$는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.틀:Rp틀:Rp

구체적으로, 생성원들이 $s_1,\dots ,s_h\in S_1$라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 $P_S(t)$는 양의 정수 계수의 다항식이다.

${\mathrm{HS}}_S(t)=P_S(t)\prod _{k=1}^h(1-t^{\mathrm{deg}{s}_i}{)}^{-1}$

$P_S=\sum _{i=0}^{\mathrm{deg}{P}_S}{P}_i{t}^i\in \mathbb{Z}[t]$

만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

${\mathrm{HS}}_S(t)=\frac{P_S(t)}{(1-t{)}^h}=P_S(t)\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+h-1}{h-1})t^i$

따라서,

${\mathrm{HF}}_S(i)=\sum _{j=0}^{\mathrm{deg}{P}_S}{P}_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-j+h-1}{h-1})$

이다. 이는 $i$에 대한 다항식이므로,

${\mathrm{HP}}_S(t)=\sum _{j=0}^{\mathrm{deg}{P}_S}{P}_j\frac{(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots (t-j)}{(h-1)!}\in \mathbb{Q}[t]$

로 놓으면

${\mathrm{HF}}_S(i)={\mathrm{HP}}_S(i)\mathrm{\forall }i\ge \mathrm{deg}{P}_S+1-h$

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 $\mathrm{deg}{P}_S+1-h$ 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

응용

대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

사영 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 $n$차원 사영 공간

${\mathbb{P}}_k^n=\mathrm{Proj}K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

은 다항식 등급환 $K[x_0,\dots ,x_n]$의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 $\mathrm{Proj}(K[x_0,x_1,\dots ,x_n]/I)$는 동차 아이디얼 $I\subset K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체

$X=\mathrm{Proj}(K[x_0,x_1,\dots ,x_n]/I)$

의 동차 좌표환 $K[x_0,x_1,\dots ,x_n]/I$의 힐베르트 다항식 ${\mathrm{HP}}_X$는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.

• ${\mathrm{HP}}_X$의 (다항식으로서의) 차수는 $X$의 차원과 같다.틀:Rp
• ${\mathrm{HP}}_X$의 최고차항의 계수는 $X$의 (대수다양체로서의) 차수와 $X$의 차원의 계승 (수학)의 비이다.틀:Rp

  ${\mathrm{HP}}_X(d)=\frac{\mathrm{deg}X}{(\dim X)!}{d}^{\dim X}+𝒪(d^{\dim X-1})$

리만-로흐 문제

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 비특이 대수다양체 $X$ 위에 선다발 $ℒ$이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

$\chi ({ℒ}^{\otimes n})=\underset{X}{\int }\exp (c_1({ℒ}^{\otimes n})\mathrm{Td}(X)=\underset{X}{\int }\sum _{i=1}^{\dim X}\frac{n^i}{i!}{c}_1(ℒ)\mathrm{Td}(X)=P(n)\in \mathbb{Q}[n]$

이며, $P(n)$은 차수 $\dim X$의 유리수 계수 다항식이다. 만약 $ℒ$이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 $n$에 대하여 $H^i(X,{ℒ}^{\otimes n})=0\mathrm{\forall }i>0$이며, 또한 사영 공간으로의 매장

$\iota :X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^k$

${\iota }^{*}𝒪(1)=ℒ$

이 존재한다. $P(n)$은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.틀:Rp

$\chi (X,{ℒ}^{\otimes n})={\mathrm{HP}}_{\iota (X)}(n)\mathrm{\forall }n$

$\dim \mathrm{\Gamma }(X,{ℒ}^{\otimes n}=\chi (X,{ℒ}^{\otimes n})={\mathrm{HP}}_{\iota (X)}(n)\mathrm{\forall }n\gg 1$

이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 $X$의 오일러 지표가 된다.

$\chi (X)={\mathrm{HP}}_{\iota (X)}(0)$

보다 일반적으로, 만약 $ℒ$이 풍부한 선다발이라면, 여전히 $\chi (X,{ℒ}^{\otimes n})$은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

힐베르트-사뮈엘 함수

뇌터 가환 국소환 $(R,𝔪)$의 유한 생성 가군 $M$ 및 $R$의 으뜸 아이디얼 $𝔮$가 주어졌을 때, 등급 $R$-가군

$\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{𝔮}^{i}M/{𝔮}^{i+1}M$

을 정의하자. (여기서 ${𝔪}^0=R$로 정의한다.) 이 경우, $R$-가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수(틀:Llang)

${\mathrm{HF}}_M^{𝔮}(i)=\mathrm{length}({𝔮}^{i}M/{𝔮}^{i+1}M)$

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

힐베르트-사뮈엘 다항식 ${\mathrm{HP}}_M^{𝔮}(t)$의 차수는 $M$의 크룰 차원보다 1만큼 작다.틀:Rp

$\mathrm{deg}{\mathrm{HP}}_M^{𝔮}(t)=\dim M-1$

예

사영 공간

사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.틀:Rp 다항식환

$R=K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

${\dim }_K{R}_d=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{n})=\frac{1}{n!}(d+n)(d+n-1)\cdots (d+1)$

따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

${\mathrm{HP}}_R(d)=\frac{1}{n!}(d+n)(d+n-1)\cdots (d+1)=\frac{1}{n!}{d}^n+\cdots$

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 $n$차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

여차원 1의 초곡면

다항식환

$R=K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

속에서, $k$차 동차다항식 $f\in R_k$로 생성되는 동차 아이디얼 $(f)$에 대한 몫등급환 $R/(f)$의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.틀:Rp 짧은 완전열

$0\to R(-k)\stackrel{\cdot f}{\to }R\to R/(f)\to 0$

으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

$\mathrm{HP}(d)={\dim }_K(R/(f){)}_d={\dim }_K{R}_d-{\dim }_K{R}_{d-k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d-k}{n})=\frac{k}{(n-1)!}{d}^{n-1}+𝒪(d^{n-2})$

이를 대수기하학적으로 해석하면 $k$차 동차다항식의 영점 집합은 $n$차원 사영 공간 속에서 $n-1$차원 $k$차 사영 대수다양체를 정의한다.

대수 곡선

종수 $g$의 비특이 대수 곡선 $C$ 위의 매우 풍부한 선다발 $ℒ$을 통하여, $C$를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

$\iota :C\hookrightarrow {\mathbb{P}}^n$

$ℒ={\iota }^{*}𝒪(1)$

이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

${\mathrm{HF}}_C(t)=(\mathrm{deg}ℒ)t+(g-1)$

여기서 $\mathrm{deg}ℒ$은 $ℒ$을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

대수 곡면

산술 종수 $p_{\text{a}}=\chi (X;{𝒪}_X)-1$의 대수 곡면 $X$ 위에, 매우 풍부한 선다발 $ℒ$이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 $D$라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

$\iota :X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^{\dim \mathrm{\Gamma }(X,ℒ)-1}$

${\iota }^{*}𝒪(1)=ℒ$

이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

${\mathrm{HP}}_{\iota (X)}(n)=\chi (X;{ℒ}^{\otimes n})=\frac{1}{2}{n}^{2}D.D-\frac{1}{2}nD.K+p_{\text{a}}(X)+1$

여기서 $K_X$는 $X$의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 $D.D$이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 ${\iota }^{*}𝒪(1)$과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

같이 보기

• 힐베르트 스킴

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:웹 인용
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