행렬식 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 대수 기하학에서 행렬식 다양체(틀:Llang)는 계수에 주어진 상한이 있는 행렬들의 공간이다. 이 다양체의 중요성은 사영 공간 두 개의 곱의 세그레 매장과 같은 대수 기하학의 많은 예가 이러한 형식이라는 사실에서 비롯된다.

정의

주어진 $m, n$ 과 $r < \min {m, n}$ 에 대해 행렬식 다양체 $Y_{r}$ 은 체 $𝕜$ 의 원소를 성분으로 갖는 계수 $r$ 이하의 모든 $m \times n$ 행렬들의 집합이다. 이것은 행렬이 계수 $r$ 이하를 갖는 조건으로서 $(r + 1) \times (r + 1)$ 부분 행렬식들의 근들로 자연스럽게 주어지는 대수다양체이다. 성분들이 대수적 독립인 변수 $x_{i, j}$ 들인 $m \times n$ 행렬을 고려하면, 이 행렬의 부분행렬식들은 $r + 1$ 차 다항식이다. 이러한 다항식들에 의해 생성된 $𝕜 [x_{i, j}]$ 의 이데알은 행렬식 이데알이다. 부분행렬식을 정의하는 방정식이 동차이기 때문에 $Y_{r}$ 를 $m n$ 차원 아핀 공간에서 아핀 다양체, 또는 $m n - 1$ 차원 사영 공간에서 사영 다양체로 볼 수 있다.

성질

행렬식 다양체를 정의하는 반소 이데알은 $(r + 1) \times (r + 1)$ 부분행렬식들로 생성된다.(Bruns-Vetter, Theorem 2.10).

$Y_{r}$ 를 아핀 다양체로 고려한다고 가정하면, 그 차원은 $r (m + n - r)$ 이다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 다음과 같다. $𝐀^{m n}$ 위에 곱 공간 $𝐀^{m n} \times 𝐆 𝐫 (r, m)$ 을 형성한다. 여기서 $𝐆 𝐫 (r, m)$ 는 $m$ 차원 선형 공간에서 $r$ 차원 평면들의 그라스만 다양체이고 $Y_{r}$ 의 비특이화인 부분 공간 $Z_{r} = {(A, W) ∣ A (k^{n}) \subseteq W}$ 을 고려한다. (계수가 정확히 $r$ 인 행렬들의 열린 집합에 대해 이 사상은 동형사상이다.) $Z_{r}$ 는 $H o m (k^{n}, ℛ)$ 과 동형인 $𝐆 𝐫 (r, m)$ 위의 선형 다발이다. 여기서 $ℛ$ 은 그라스만 다양체에 대한 tautological 다발이다. 그들은 쌍유리적 동치이기 때문에 $\dim Y_{r} = \dim Z_{r}$ 이고, $H o m (k^{n}, ℛ)$ 의 올의 차원이 $n r$ 이기 때문에 $\dim Z_{r} = \dim 𝐆 𝐫 (r, m) + n r = r (m - r) + n r$ 이다..

위는 계수 $r$ 이하인 행렬이 $Y_{r}$ 의 특이 영점들을 포함함을 보여준다. 사실 둘은 같다. 이 사실은 비특이성에 대한 야코비 판별과 함께 부분행렬식에 의해 반소 이데알이 주어짐을 통해 확인할 수 있다.

다양체 $Y_{r}$ 은 자연스럽게 일반 선형 군의 곱 $G = 𝐆 𝐋 (m) \times 𝐆 𝐋 (n)$ 의 군 작용을 가진다. 체의 표수가 0일 때 $Y_{r}$ 의 syzygies를 결정하는 문제를 알랭라스코가 $G$ 의 자연 군 작용을 사용하여 해결했다.

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