대수적 독립 집합

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 수론에서 대수적 독립 집합(代數的獨立集合, 틀:Llang)은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식을 만족시키지 않는, 체의 부분 집합이다.

정의

체 $L$의 부분환인 체 $K$가 주어졌다고 하자. (즉, $L/K$는 체의 확대이다.)

$L$의 부분 집합 $S\subseteq L$에 대하여, 다음 두 조건이 (정의에 따라) 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 $L/K$에 대한 대수적 독립 집합이라고 한다.

• 임의의 $s\in S$에 대하여, $K\cup S\setminus \{s\}$로 생성되는 체 $K\le \tilde{K}\le L$를 생각한다면, $s$는 $\tilde{K}$의 초월원이다.
• 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 및 다항식 $p\in K[x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n]$ 및 $s_0,s_1,s_2,\dots ,s_n$에 대하여, 만약 $p(s_0,s_1,\dots ,s_n)=0$이라면, $s_0=s_i$인 $i\in \{1,\dots ,n\}$가 존재하거나, $\partial p/\partial x_0=0$이다.

성질

$ℝ/\mathbb{Q}$에 대한 대수적 독립 유한 집합 $S$가 주어졌으며, $S$가 $\mathbb{Q}$에 대하여 선형 독립 집합이라고 하자. 린데만-바이어슈트라스 정리(Lindemann-Weierstraß定理, 틀:Llang)에 따르면, $\{\exp s:s\in S\}$ 역시 $ℝ/\mathbb{Q}$에 대한 대수적 독립 집합이다.

예

체의 확대 $ℝ/\mathbb{Q}$ 속에서, 정의에 따라, 한원소 집합 $\{x\}$이 대수적 독립 집합일 필요 충분 조건은 $x$가 초월수인 것이다.

$ℝ/\mathbb{Q}$에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이다.

• $\{\pi \}$
• $\{\mathrm{e}\}$

$ℝ/\mathbb{Q}$에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이 아니다.

• $\{\sqrt{3}+3/4\}$
• $\{\pi ,\sqrt{3}+3/4\}$
• $\{\sqrt{\pi },2\pi +1\}$. 예를 들어, $p(x,y)=2x^2-y+1$에 대하여 $p(\sqrt{\pi },2\pi +1)=0$이다.
• $\{\pi ,\exp \pi ,\mathrm{\Gamma }(1/4)\}$
• $\{\pi ,\exp (\pi \sqrt{3}),\mathrm{\Gamma }(1/3)\}$
• 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $\{\pi ,\exp (\pi \sqrt{n})\}$

2018년 기준으로, $ℝ/\mathbb{Q}$에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합인지 여부가 알려지지 않았다.

• $\{\pi +\mathrm{e}\}$
• $\{\pi ,\mathrm{e}\}$

역사

린데만-바이어슈트라스 정리는 카를 바이어슈트라스가 1885년에 증명하였다.

외부 링크

• 틀:매스월드
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