특이점 (대수기하학)

대수기하학에서 특이점(特異點, 틀:Llang)은 대수다양체를 정의하는 다항식들의 야코비 행렬의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

정의

스킴 $(X, 𝒪_{X})$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 정칙 스킴(틀:Llang)이라고 한다.

마찬가지로, 스킴 $X$ 의 특이점은 $𝒪_{X, x}$ 가 정칙 국소환이 아니게 되는 점 $x \in X$ 이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X \to Spec K$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 정칙 스킴이라면, $X$ 를 비특이 대수다양체(틀:Llang)라고 한다.^[1]틀:Rp

아핀 대수다양체 $X = Spec K [x_{1}, \dots, x_{n}] / 𝔞$ 및 점 $x \in X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$x$ 는 $X$ 의 특이점이 아니다.
$𝔞$ 가 $(f_{1}, \dots, f_{k})$ 으로 생성된다면, $k \times n$ 행렬 $(\partial f_{i} / \partial x_{j}) (x)$ 의 계수는 $n - \dim X$ 이다.^[1]틀:Rp

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 체 $K$ 에 대하여 모든 매끄러운 $K$ -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$ -스킴 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여, 아핀 공간 $𝔸_{K}^{n} = Spec K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 및 사영 공간 $ℙ_{K}^{n} = Proj K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 은 각각 비특이 $K$ -대수다양체를 이룬다.

{(x, y) : y^{2} - x^{2} (x + 1) = 0} \subset 𝔸^{2}

을 생각하자. 이 경우, 1×2 야코비 행렬은

(- (3 x + 2) x, 2 y)

이며, 그 계수는 $(x, y) \in {(0, 0), (- 2 / 3, 0)}$ 이면 0, 아니면 1이다. 이 두 점 가운데 $(0, 0)$ 은 곡선 위에 있으므로, 이는 대수 곡선의 특이점이다.