반소 아이디얼

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 반소 아이디얼(半素ideal, 틀:Llang)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, 틀:Llang)라고 한다.

정의

소근기

환 $R$ 속의 양쪽 아이디얼 $𝔞\subseteq R$의 소근기(素根基, 틀:Llang) 또는 단순히 근기(根基, 틀:Llang) $\sqrt{𝔞}$는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.틀:Rp 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

$\sqrt{𝔞}=\bigcap \{𝔭\in \mathrm{Spec}R:𝔞\subseteq 𝔭\}\subseteq \{r\in R:\mathrm{\exists }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:r^n\in 𝔞\}$

여기서 $\mathrm{Spec}R$는 $R$의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, $𝔞$를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

가환환의 경우

가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.

• $\sqrt{𝔞}$
• $\{r\in R|\mathrm{\exists }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:r^n\in 𝔞\}$. 즉, 충분히 거듭제곱하면 $𝔞$의 원소가 되는 것들의 집합이다.
• $R/𝔞$의 멱영원들의 집합 $N$에 대하여, $\{r\in R:[r]\in N\}$. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

반소 아이디얼

환 $R$ 속의 양쪽 아이디얼 $𝔞\subseteq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 반소 아이디얼(半素ideal, 틀:Llang) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 양쪽 아이디얼 $𝔟\subseteq R$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$에 대하여 ${𝔟}^n\subseteq 𝔞$라면, $𝔟\subseteq 𝔞$이다.틀:Rp
• 임의의 왼쪽 아이디얼 $B\subseteq R$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$에 대하여 $B^n\subseteq 𝔞$라면, $𝔟\subseteq 𝔞$이다.틀:Rp
• 임의의 오른쪽 아이디얼 $B\subseteq R$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$에 대하여 $B^n\subseteq 𝔞$라면, $𝔟\subseteq 𝔞$이다.틀:Rp
• 임의의 $r\in R$에 대하여, 만약 $rRr\subseteq 𝔞$라면 $r\in 𝔞$이다.틀:Rp
• $R\setminus 𝔞$는 n-계를 이룬다.
• $𝔞=\bigcap 𝒫$인, 소 아이디얼들의 집합 $𝒫\subseteq \mathrm{Spec}R$이 존재한다.틀:Rp
• 스스로의 소근기와 같다. 즉, $𝔞=\sqrt{𝔞}$이다.틀:Rp

여기서 $\mathrm{Spec}R$는 $R$의 소 아이디얼들의 집합이며, n-계(틀:Llang)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subseteq R$이다.

$\mathrm{\forall }s\in S\mathrm{\exists }r\in R:srs\in S$

가환환의 경우

가환환 $R$의 아이디얼 $𝔞$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반소 아이디얼이다.
• 임의의 $r\in R$ 및 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, 만약 $r^n\in 𝔞$라면 $r\in 𝔞$이다.
• 임의의 $r\in R\setminus 𝔞$에 대하여, $\{r,r^2,r^3,\dots \}\subseteq R\setminus 𝔞$이다.

성질

환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

극대 아이디얼 ⊂ 완전 소 아이디얼 =	소 아이디얼	⊂	반소 아이디얼
	∩		∩
	으뜸 아이디얼	⊂	아이디얼

사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 $\sqrt{(0)}$는 하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다.

예

정수환

정수환 $\mathbb{Z}$에서, $(n)$이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 $n$이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, $(0)$이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다. 정수환 $\mathbb{Z}$의 경우, 아이디얼 $\mathbb{Z}/m$의 소근기는 다음과 같다.

$\sqrt{\mathbb{Z}/m}=\mathbb{Z}/\left(\prod _{p\mid m}p\right)$

여기서 $\prod _{p\mid m}p$는 $m$의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

$\sqrt{\mathbb{Z}/12}=\mathbb{Z}/6$

이다.

다항식환

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

$\prod _{i=1}^k(x-a_i{)}^{n_i}\in K[x](i\ne j⟹a_i\ne a_j)$

으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

$\sqrt{(\prod _{i=1}^k(x-a_i{)}^{n_i})}=\prod _{i=1}^k(x-a_i)$

데데킨트 정역

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 $R$에서, 영 아이디얼이나 $R$가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

$\prod _{𝔭\in \mathrm{Spec}R}{𝔭}^{n(𝔭)}$

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

$\sqrt{\prod _{𝔭\in \mathrm{Spec}R}{𝔭}^{n(𝔭)}}=\prod _{𝔭\in \mathrm{Spec}R}𝔭$

역사

반소 아이디얼(틀:Llang)의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,틀:Rp 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.틀:Rp

같이 보기

• 제이컵슨 근기
• 영근기

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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