삼각 함수

사인 함수와 코사인 함수

수학에서 삼각 함수(三角函數, 틀:Llang)는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 즉, 삼각형의 각도와 변의 길이의 관계를 나타낸 것이다. 예각 삼각 함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각 함수 역시 정의할 수 있다. 삼각 함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각 함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(틀:Llang, 틀:문화어, 기호 $\sin$) · 코사인(틀:Llang, 틀:문화어, 기호 $\cos$) · 탄젠트(틀:Llang, 틀:문화어, 기호 $\tan$)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(틀:Llang, 기호 $\csc$) · 시컨트(틀:Llang, 기호 $\sec$) · 코탄젠트(틀:Llang, 기호 $\cot$)라고 한다.

정의

직각 삼각형을 통한 정의

직각 삼각형

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 $a,b,h$라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인: $\sin A=\frac{a}{h}$

코사인: $\cos A=\frac{b}{h}$

탄젠트: $\tan A=\frac{a}{b}$

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: $\csc A=\frac{h}{a}=\frac{1}{\sin A}$

시컨트: $\sec A=\frac{h}{b}=\frac{1}{\cos A}$

코탄젠트: $\cot A=\frac{b}{a}=\frac{1}{\tan A}$

단위원을 통한 정의

삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A $(x,y)$에 대해, $x$축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 $\theta$ 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.

$\sin \theta =\frac{y}{r}$

$\cos \theta =\frac{x}{r}$

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{y}{x}$

$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$

$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$

$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

복소 삼각 함수

오일러의 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$에 $x=bi$를 대입하면,

$e^{-b}=\cos bi+i\sin bi$

$x=-bi$를 대입하면,

$e^b=\cos (-bi)+i\sin (-bi)=\cos bi-i\sin bi$

연립하여 풀면, 쌍곡선함수,

$\cos bi=\frac{e^b+e^{-b}}{2}=\cosh b$

$i\sin bi=\frac{-e^b+e^{-b}}{2},$

$-i\sin bi=\frac{e^b-e^{-b}}{2}=\sinh b$

성질

주기성과 특이점

사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 $2\pi$인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 $z\in ℂ$에 대하여,

$\sin z=\sin (z+2\pi )$

$\csc z=\csc (z+2\pi )$

$\sec z=\sec (z+2\pi )$

탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 $\pi$인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 $z\in ℂ$에 대하여,

$\tan z=\tan (z+\pi )$

$\cot z=\cot (z+\pi )$

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$에서 본질적 특이점을 갖는다.

탄젠트는 실수선의 $\pi /2+n\pi$ ($n\in \mathbb{Z}$)에서 정의되지 않는다.

• 
  사인과 코사인의 그래프
• 
  탄젠트 그래프
• 
  코시컨트 그래프

특별한 값

단위원 위의 각 점의 좌표

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

$180^{\circ }=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$(라디안)

특수각	sin	cos	tan
$0$ (0˚)	$0$	$1$	$0$
$\pi /6$ (30˚)	$1/2$	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$
$\pi /4$ (45˚)	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1$
$\pi /3$ (60˚)	$\sqrt{3}/2$	$1/2$	$\sqrt{3}$
$\pi /2$ (90˚)	$1$	$0$	정의되지 않음

0º , 90º sin, cos, tan

부호

각 사분면에 따른 삼각 함수의 부호는 다음과 같다.

사분면	sin과 csc	cos과 sec	tan와 cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

항등식

틀:본문 삼각 함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 $r$인 빗변이고 밑변이 $b,$ 각 $x$의 대변인 높이 $a$에 대하여 $\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1$를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각 함수로 나타내면 다음과 같다.

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

이것은 다음과 같다.

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

${\left(\frac{a}{r}\right)}^2+{\left(\frac{b}{r}\right)}^2=1$

$\left(\frac{a^2}{r^2}\right)+\left(\frac{b^2}{r^2}\right)=1$

$\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1$

$a^2+b^2=r^2=1\because r=1$

따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.

${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1$

삼각 함수의 덧셈정리

서로 다른 삼각 함수의 관계는 삼각 함수의 덧셈 정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

$\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,$

$\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$ (복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin	$\sin x$	$\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$	$(\tan x)/\sqrt{1+{\tan }^{2}x}$	$1/\sqrt{{\cot }^{2}x+1}$	$\sqrt{{\sec }^2(x)-1}/(\sec x)$	$1/(\csc x)$
cos	$\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$	$\cos x$	$1/\sqrt{1+{\tan }^2(x)}$	$(\cot x)/\sqrt{{\cot }^{2}x+1}$	$1/(\sec x)$	$\sqrt{{\csc }^{2}x-1}/(\csc x)$
tan	$(\sin x)/\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$	$\sqrt{1-{\cos }^{2}x}/(\cos x)$	$\tan x$	$1/(\cot x)$	$\sqrt{{\sec }^{2}x-1}$	$1/\sqrt{{\csc }^{2}x-1}$
cot	$\sqrt{1-{\sin }^{2}x}/(\sin x)$	$(\cos x)/\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$	$1/(\tan x)$	$\cot (x)$	$1/\sqrt{{\sec }^{2}x-1}$	$\sqrt{{\csc }^{2}x-1}$
sec	$1/\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$	$1/(\cos x)$	$\sqrt{1+{\tan }^{2}x}$	$\sqrt{{\cot }^{2}x+1}/(\cot x)$	$\sec x$	$(\csc x)/\sqrt{{\csc }^2(x)-1}$
csc	$1/(\sin x)$	$1/\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$	$\sqrt{1+{\tan }^{2}x}/(\tan x)$	$\sqrt{{\cot }^{2}x+1}$	$(\sec x)/\sqrt{{\sec }^{2}x-1}$	$\csc x$

미분과 적분

틀:참고 다음은 6개의 기본 삼각 함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 $f(x)$	도함수 $f^{\prime }(x)$	부정적분 $\int f(x)dx$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x+C$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	$-\ln |\cos x|+C$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$	$\ln |\sin x|+C$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\ln |\csc x-\cot x|+C$

응용

사인 법칙

틀:본문 사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

마찬가지로,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

코사인 법칙

틀:본문 코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

$c=b\cos A+a\cos B$

양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

탄젠트 법칙

틀:본문 탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{1}{2}(A+B)}{\tan \frac{1}{2}(A-B)}$

역사

기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.

현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.

삼각 함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.

어원

영어 ‘사인(틀:Lang)’은 라틴어 틀:Lang에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 틀:Lang(틀:Transl)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 틀:Lang(틀:Transl, 베다 틀:Transl)를 음차한 것이다.

‘탄젠트(틀:Lang)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 틀:Lang에서 왔고, ‘시컨트(틀:Lang)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 틀:Lang에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 틀:임시링크의 틀:Lang(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(틀:Lang)을 ‘코사인(틀:Lang)’으로 줄여 부른 것이다.

한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 틀:임시링크이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

같이 보기

• 싱크함수
• 자연로그의 밑
• 테일러 급수
• 오일러의 등식
• 원뿔
• 헤론의 공식
• 체비셰프 다항식
• 베르누이 수
• 역삼각 함수

외부 링크

• 틀:매스월드
• Visionlearning Module on Wave Mathematics
• GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• Dave's draggable diagram. (Requires java browser plugin)
• sinusoidal wave shape 틀:웹아카이브