푸비니 정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 틀:미적분학 해석학에서 푸비니 정리(-定理, 틀:Llang) 또는 푸비니-토넬리 정리(-定理, 틀:Llang)는 이중 적분은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.

정의

추이 측도로 유도된 측도의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 시그마 유한 측도 공간 $(X,ℱ,\mu )$
• 가측 공간 $(Y,𝒢)$
• 시그마 유한 추이 측도 $\nu :X\times 𝒢\to [0,\mathrm{\infty }]$

그렇다면, 곱 가측 공간 $(X\times Y,ℱ\times 𝒢)$ 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 $\mu \times \nu$가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도를 이룬다.

$(\mu \times \nu )(A\times B)=\underset{A}{\int }\nu (x,B)\mathrm{d}\mu (x)(\mathrm{\forall }A\in ℱ,B\in 𝒢)$

구체적으로 이 측도는 다음과 같다.

$(\mu \times \nu )(S)=\underset{X}{\int }\nu (x,\{y\in Y:(x,y)\in S\})\mathrm{d}\mu (x)(\mathrm{\forall }S\in ℱ\times 𝒢)$

또한, 일반화 푸비니 정리(一般化-定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 음이 아닌 가측 함수 $f:X\times Y\to ([0,\mathrm{\infty }),ℬ([0,\mathrm{\infty })))$에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다.

  $(X,ℱ)\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$

  $x\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\nu (x,\cdot )(y)$

• 임의의 가측 함수 $f:X\times Y\to (ℝ,ℬ(ℝ))$에 대하여, 만약 $f$의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 $f$가 $(\mu \times \nu )$-적분 가능하다면, 거의 모든 $x\in X$에 대하여, $y\mapsto f(x,y)$는 $\nu (x,\cdot )$-적분 가능하다.)틀:Rp

  $\underset{X\times Y}{\int }f\mathrm{d}(\mu \times \nu )=\underset{X}{\int }\mathrm{d}\mu (x)\underset{Y}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\nu (x,\cdot )(y)$

곱측도의 경우

두 시그마 유한 측도 공간 $(X,ℱ,\mu )$와 $(Y,𝒢,\nu )$가 주어졌다고 하자. 또한 $(X\times Y,ℱ\times 𝒢,\mu \times \nu )$가 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리에 따르면, 다음이 성립한다.틀:Rp

• 임의의 음이 아닌 가측 함수 $f:X\times Y\to ([0,\mathrm{\infty }),ℬ([0,\mathrm{\infty })))$에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수이다.

  $(X,ℱ)\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$

  $x\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\nu (y)$

  $(Y,𝒢)\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$

  $y\mapsto \underset{X}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\mu (x)$

• 임의의 가측 함수 $f:X\times Y\to (ℝ,ℬ(ℝ))$에 대하여, 만약 $f$의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 $f$가 $(\mu \times \nu )$-적분 가능하다면, 거의 모든 $x\in X$에 대하여 $y\mapsto f(x,y)$는 $\nu$-적분 가능하며, 거의 모든 $y\in Y$에 대하여 $x\mapsto f(x,y)$는 $\mu$-적분 가능하다.)틀:Rp

  $\underset{X\times Y}{\int }f\mathrm{d}(\mu \times \nu )=\underset{X}{\int }\mathrm{d}\mu (x)\underset{Y}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\nu (y)=\underset{Y}{\int }\mathrm{d}\nu (y)\underset{X}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\mu (x)$

이는 추이 측도에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.

$X\times 𝒢\to [0,\mathrm{\infty }]$

$(x,B)\mapsto \nu (B)$

$Y\times ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$

$(y,A)\mapsto \mu (A)$

리만 적분

틀:참고 직사각형 $[a,b]\times [c,d]\subseteq ℝ$ 위에 정의된 함수 $f:[a,b]\times [c,d]\to ℝ$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $f$는 $[a,b]\times [c,d]$ 위에서 리만 적분 가능하다.
• 임의의 $x\in [a,b]$에 대하여, $y\mapsto f(x,y)$는 $[c,d]$ 위에서 리만 적분 가능하다.
• 임의의 $y\in [a,b]$에 대하여, $x\mapsto f(x,y)$는 $[a,b]$ 위에서 리만 적분 가능하다.

그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp

• $x\mapsto \underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$와 $y\mapsto \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}x$는 $[a,b]$ 위에서 리만 적분 가능하다.
• $\underset{[a,b]\times [c,d]}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y=\underset{c}{\overset{d}{\int }}\mathrm{d}y\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}x$

틀:증명 다르부 적분의 정의에 따라, 임의의 $x\in [a,b]$에 대하여 리만 적분

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$

가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.

$\mathrm{L}\underset{[a,b]\times [c,d]}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \mathrm{L}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y\le \mathrm{U}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y\le \mathrm{U}\underset{[a,b]\times [c,d]}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

여기서 $\mathrm{U}$와 $\mathrm{L}$은 각각 다르부 상적분과 다르부 하적분을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 $f$가 $[a,b]\times [c,d]$에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$

가 존재하며

$\underset{[a,b]\times [c,d]}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$

이다. 남은 절반의 증명은 유사하다. 틀:증명 끝

이상 적분

틀:참고 확장된 실수 $a<b$ 및 실수 $c<d$ 및 함수 $f:(a,b)\times [c,d]\to ℝ$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• $f$는 연속 함수이다.
• 이상 적분 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}x$는 $y\in [c,d]$ 위에서 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp

• 이상 적분 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$가 존재한다.
• $\underset{c}{\overset{d}{\int }}\mathrm{d}y\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$

그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.

역사

이탈리아의 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

• 카발리에리의 원리
• 쿠라토프스키-울람 정리

외부 링크

• 틀:웹 인용틀:깨진 링크
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
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