피카르-린델뢰프 정리

틀:위키데이터 속성 추적 동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리(틀:Llang) 또는 피카르 유일성 정리(틀:Llang) 또는 코시-립시츠 정리(틀:Llang)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의

초깃값 문제

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$

$y(t_0)=y_0$

를 생각하자.

립시츠 조건

열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 연속 함수 $f:[t_0,t_0+a]\times U\to {ℝ}^n$가 주어졌고, $f$가 $y$에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 $L\ge 0$가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, 틀:Llang).

$|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\mathrm{\forall }(t,y),(t,z)\in [t_0,t_0+a]\times U$

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 $y_0\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<\delta \le a$에 대하여 유일한 국소적 해 $\varphi :[t_0,t_0+\delta ]\to U$를 갖는다. 만약 $U={ℝ}^n$일 경우, 임의의 $y_0\in {ℝ}^n$에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 $\varphi :[t_0,t_0+a]\to {ℝ}^n$를 갖는다.틀:Rp 틀:증명 우선 $\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)\subseteq U$인 $b>0$ 및

$0<\delta \le \min \{a,\frac{b}{\underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|}\}$

를 취하자. 그렇다면 연속 함수 $[t_0,t_0+\delta ]\to {ℝ}^n$들의 집합 $𝒞([t_0,t_0+\delta ],{ℝ}^n)$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

$\Vert \varphi \Vert =\Vert t\mapsto \exp (-Lt)\varphi (t){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in [t_0,t_0+\delta ]}{\sup }\exp (-Lt)|\varphi (t)|$

이 노름은 상한 노름 $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$과 동치이므로 $(𝒞([t_0,t_0+\delta ],{ℝ}^n),\Vert \cdot \Vert )$은 바나흐 공간이다. 연속 함수 $[t_0,t_0+\delta ]\to \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)$의 집합 $𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$은 $𝒞([t_0,t_0+a],{ℝ}^n)$의 닫힌집합이므로 $(𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)),\Vert \cdot \Vert )$ 역시 바나흐 공간이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

$T:𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))\to 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$

$T\varphi :t\mapsto y_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,\varphi (s))\mathrm{d}s$

이 작용소의 공역을 $𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$로 제한할 수 있는 것은 임의의 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$ 및 $t\in [t_0,t_0+\delta ]$에 대하여

$|(T\varphi )(t)-y_0|\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))|\mathrm{d}s\le \underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|\cdot \delta \le b$

이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$는 자명하게 $T$의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 $T$가 (노름 $\Vert \cdot \Vert$에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 $f$의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$ 및 $t\in [t_0,t_0+\delta ]$에 대하여,

$\begin{array}{cc}\exp (-Lt)|(T\varphi -T\psi )(t)|& \le \exp (-Lt)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm{d}s\\ & \le \exp (-Lt)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}L|\varphi (s)-\psi (s)|\mathrm{d}s\\ & =\exp (-Lt)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}L{e}^{Ls}{e}^{-Ls}|\varphi (s)-\psi (s)|\mathrm{d}s\\ & \le \exp (-Lt)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}L{e}^{Ls}\mathrm{d}s\Vert \varphi -\psi \Vert \\ & =(1-\exp (-Lt))\Vert \varphi -\psi \Vert \\ & \le (1-\exp (-L(t_0+\delta )))\Vert \varphi -\psi \Vert \end{array}$

마지막으로, 위 증명은 $\delta$가 고정되었을 때 $b$를 ($\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)\subseteq U$를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 $[t_0,t_0+\delta ]\to U$는 유일하게 존재한다.

만약 $U={ℝ}^n$일 경우 $b=\mathrm{\infty }$와 $\delta =a$를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다. 틀:증명 끝 틀:증명 국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. $\varphi ,\psi :[t_0,t_0+\delta ]\to U$ ($0<\delta \le a$)가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, $h=|\varphi -\psi |$라고 하자. 그렇다면, 임의의 $t\in [t_0,t_0+\delta ]$에 대하여,

$h(t)\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm{d}s\le L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|\varphi (s)-\psi (s)|\mathrm{d}s=L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}h(s)\mathrm{d}s$

이다. 그뢴발 부등식에 따라 $h=0$이며, 즉 $\varphi =\psi$이다. 틀:증명 끝

국소 립시츠 조건

열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 연속 함수 $f:[t_0,t_0+a]\times U\to {ℝ}^n$가 주어졌고, $f$가 $y$에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 $y_0\in U$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $y_0$의 근방 $\tilde{U}\subseteq U$ 및 음이 아닌 실수 $L\ge 0$가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, 틀:Llang).

$|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\mathrm{\forall }(t,y),(t,z)\in [t_0,t_0+a]\times \tilde{U}$

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 $y_0\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<\delta \le a$에 대하여 유일한 국소적 해 $\varphi :[t_0,t_0+\delta ]\to U$를 갖는다.틀:Rp 특히, 만약 $y$에 대한 편미분 $\partial f/\partial y$이 연속 함수라면, $f$는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다. 틀:증명 임의의 $y_0\in U$를 고정하였을 때, $f$는 $[t_0,t_0+a]\times \tilde{U}$로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 $[t_0,t_0+\delta ]$에서 유일한 국소적 해를 갖는다. 틀:증명 끝

해의 근사

반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 ${\varphi }_n:[t_0,t_0+\delta ]\to U$을 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\varphi }_0:t\mapsto y_0$

${\varphi }_{n+1}:t\mapsto y_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,{\varphi }_n(s))\mathrm{d}s$

이 경우 실제 해 $\varphi :[t_0,t_0+\delta ]\to U$와의 오차는 다음과 같다.

$|{\varphi }_n(t)-\varphi (t)|\le \frac{L^n}{(n+1)!}|t-t_0{|}^{n+1}\underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|$

$|{\varphi }_0(t)-\varphi (t)|\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))|\mathrm{d}s\le |t-t_0|\underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|$

$\begin{array}{cc}|{\varphi }_{n+1}(t)-\varphi (t)|& \le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,{\varphi }_n(s))-f(s,\varphi (s))|\mathrm{d}s\\ & \le L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|{\varphi }_n(s)-\varphi (s)|\mathrm{d}s\\ & \le \frac{L^{n+1}}{(n+1)!}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|s-t_0{|}^{n+1}\mathrm{d}s\underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|\\ & =\frac{L^{n+1}}{(n+2)!}|t-t_0{|}^{n+2}\underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|\end{array}$

다른 정리와의 관계

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(틀:Llang)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(틀:Llang)의 존재만을 결론내린다.

역사

샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(틀:Llang)가 증명하였다.

같이 보기

• 벡터장
• 뉴턴 방법
• 오일러 방법
• 사다리꼴 공식

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드