페아노 존재 정리

틀:위키데이터 속성 추적 동역학계 이론에서, 페아노 존재 정리(-存在定理, 틀:Llang)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

정의

다음과 같은 초깃값 문제를 생각하자.

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$

$y(t_0)=y_0$

열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 연속 함수 $f:[t_0,t_0+a]\times U\to {ℝ}^n$가 주어졌다고 하자. 페아노 존재 정리에 따르면, 임의의 $y_0\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 국소적 해 $\varphi :[t_0,t_0+\delta ]\to U$ ($0<\delta \le a$)를 갖는다.틀:Rp 만약 추가로 $U={ℝ}^n$이며 $f$가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해 $\varphi :[t_0,t_0+a]\to U$를 갖는다.틀:Rp 틀:증명 우선

$b>0$

$\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)=\{y\in {ℝ}^n:|y-y_0|\le b\}\subseteq U$

$M=\underset{[t_0,t_0+a]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)}{\sup }|f|<\mathrm{\infty }$

$\delta =\min \{a,\frac{b}{M}\}$

라고 하자. 연속 함수 $[t_0,t_0+\delta ]\to \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)$들의 상한 노름 $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$에 대한 바나흐 공간 $𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$ 위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

$T:𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))\to 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$

$T\varphi :t\mapsto y_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))\mathrm{d}s$

이 작용소의 공역을 $𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$로 제한할 수 있는 것은 임의의 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$ 및 $t\in [t_0,t_0+\delta ]$에 대하여

$|(T\varphi )(t)-y_0|\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))|\mathrm{d}s\le M\delta \le b$

이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$는 자명하게 $T$의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라, $T$의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

• ㈀ $T$는 연속 함수
• 치역 $T(𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)))$은 $𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$의 상대 콤팩트 집합

아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

• ㈁ $T(𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)))$는 유계 집합
• ㈂ $T(𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)))$는 균등 동등 연속 함수족

㈀: $\Vert {\varphi }_n-\varphi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\to 0$라고 가정하자. $f$는 $[t_0,t_0+\delta ]\times \mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b)$에서 균등 연속 함수이므로,

$\underset{s\in [t_0,t_0+\delta ]}{\sup }|f(s,{\varphi }_n(s))-f(s,\varphi (s))|\to 0$

이다. 또한

$|(T{\varphi }_n-T\varphi )(t)|\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm{d}s\le \delta \underset{s\in [t_0,t_0+\delta ]}{\sup }|f(s,\varphi (s))-f(s,\psi (s))|$

이므로,

$\Vert T{\varphi }_n-T\varphi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \delta \underset{s\in [t_0,t_0+\delta ]}{\sup }|f(s,\varphi (s))-f(s,\psi (s))|\to 0$

이다.

㈁: 임의의 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$ 및 $t\in [t_0,t_0+\delta ]$에 대하여,

$|(T\varphi )(t)|\le |y_0|+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))|\mathrm{d}s\le |y_0|+M\delta$

㈂: 임의의 $\varphi \in 𝒞([t_0,t_0+\delta ],\mathrm{cl}\mathrm{ball}(y_0,b))$ 및 $t,t^{\prime }\in [t_0,t_0+\delta ]$에 대하여,

$|(T\varphi )(t)-(T\varphi )(t^{\prime })|\le |\underset{t^{\prime }}{\overset{t}{\int }}|f(s,\varphi (s))|\mathrm{d}s|\le M|t-t^{\prime }|$

틀:증명 끝 틀:증명 만약 $U={ℝ}^n$이며 $f$가 유계 함수라면, 위 증명에서 $b=\mathrm{\infty }$ 및 $M=\sup |f|$ 및 $\delta =a$를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다. 틀:증명 끝

역사

주세페 페아노의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom