오스굿 유일성 정리

틀:위키데이터 속성 추적 동역학계 이론에서 오스굿 유일성 정리(틀:Llang) 또는 오스굿 판정법(틀:Llang)은 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. 피카르-린델뢰프 정리의 일반화이다.

정의

초깃값 문제

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$

$y(t_0)=y_0$

를 생각하자.

열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 연속 함수 $f:[t_0,t_0+a]\times U\to {ℝ}^n$가 주어졌고, $f$에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 연속 함수 $g:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$가 존재한다고 하자 (오스굿 조건, 틀:Llang).

$g(0)=0$

$g(r)>0\mathrm{\forall }r>0$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}u}{g(u)}=\mathrm{\infty }$

$|f(t,y)-f(t,z)|\le g(|y-z|)\mathrm{\forall }(t,y),(t,z)\in [t_0,t_0+a]\times U$

오스굿 유일성 정리에 따르면, 임의의 $y_0\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<\delta \le a$에 대하여 유일한 국소적 해 $y:[t_0,t_0+\delta ]\to U$를 갖는다.

오스굿 유일성 정리에서 $g:r\mapsto Lr$ ($L\ge 0$)를 취하면 피카르-린델뢰프 정리를 얻는다. 틀:증명 국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 유일성의 증명은 다음과 같다. 귀류법을 사용하여, 서로 다른 두 해 $\varphi ,\psi :[t_0,t_0+\delta ]\to U$를 갖는다고 가정하자. 그렇다면 $\varphi (s)\ne \psi (s)$인 $s\in (t_0,t_0+a]$가 존재한다. 이제

$\tilde{s}=\sup \{t\in [t_0,s]:\varphi (t)=\psi (t)\}\in [t_0,s)$

$h:[\tilde{s},s]\to [0,\mathrm{\infty })$

$h:t\mapsto |\varphi (t)-\psi (t)|$

라고 하자. 그렇다면, 임의의 $t\in (\tilde{s},s]$에 대하여

$h^{\prime }(t)=\frac{⟨\varphi (t)-\psi (t)⟩,{\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t)⟩}{|\varphi (t)-\psi (t)|}\le |{\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t)|=|f(t,\varphi (t))-f(t,\psi (t))|\le g(|\varphi (t)-\psi (t)|)=g(h(t))$

이다. 즉,

$\frac{h^{\prime }(t)}{g(h(t))}\le 1$

이다. 따라서

$\underset{0}{\overset{h(s)}{\int }}\frac{\mathrm{d}r}{g(r)}=\underset{\tilde{s}}{\overset{s}{\int }}\frac{h^{\prime }(t)\mathrm{d}t}{g(h(t))}\le s-\tilde{s}<\mathrm{\infty }$

이며, 이는 모순이다. 틀:증명 끝

역사

윌리엄 포그 오스굿(틀:Llang)의 이름을 땄다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom