직교 여공간

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틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 직교 여공간(直交餘空間, 틀:Llang)은 주어진 부분공간과 수직인 벡터들의 공간이다.

정의

내적 공간 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 의 부분공간 $W \subset V$ 의 직교 여공간 $W^{⊥} \subset V$ 은 다음과 같은 부분공간이다.

W^{⊥} = {v \in V | \forall w \in W : ⟨ v, w ⟩ = 0}

성질

내적 공간 $V$ 의 부분공간 $W \subset V$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

$W^{⊥}$ 는 닫힌 집합이다.
$W^{⊥} \cap W = {0}$
$W \subset W^{⊥ ⊥}$
만약 $W_{1} \subset W_{2} \subset V$ 라면, $W_{2}^{⊥} \supset W_{1}^{⊥}$ 이다.

만약 $V$ 가 힐베르트 공간이라면, 다음이 추가로 성립한다.

$W \subset cl (W) = W^{⊥ ⊥}$ ( $cl$ 은 폐포). 따라서 만약 $W$ 가 닫힌 집합이라면 $W = W^{⊥ ⊥}$ 이다.
$W^{⊥} = (cl W)^{⊥} = cl (W^{⊥})$
$V = cl (W) \oplus W^{⊥}$

외부 링크

틀:전거 통제

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