전신 방정식

역사

1887년에 당시 전보 기사였던 올리버 헤비사이드가 도입하였다.^[1]

편의상 $A^{'} = \partial A / \partial x$ , $\dot{A} = \partial A / \partial t$ 로 표기하자.

매우 가는 균일한 전신선이 단위 길이당 전기 저항 $R$ 과 단위 길이당 인덕턴스 $L$ 을 가진다고 하자. 또한, 전신선에서 전류가 단위 길이당 전도율 $G$ 과 단위 길이당 전기 용량 $C$ 를 통해 (병렬로) 샌다고 하자.

전신선 위의 전압 $V (x, t)$ 과 전류 $I (x, t)$ 는 다음과 같은 연립 1차 편미분 방정식을 따른다.

V^{'} = - R I - L \dot{I}

I^{'} = - G V - C \dot{V}

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두 편미분 방정식 가운데 하나를 다른 하나에 대입하면 다음과 같이 하나의 2차 편미분 방정식을 얻는다.

V^{″} = G R V + (G L + C R) \dot{V} + L C \ddot{V}

.

I^{″} = G R I + (G L + C R) \dot{I} + L C \ddot{I}

.

이를 전신 방정식이라고 한다.

편의상 전력 손실을 무시하자. 즉, $R = 0$ , $G = 0$ 으로 놓자. 그렇다면 전신 방정식은 다음과 같이 파동 방정식이 된다.

V^{″} = L C \ddot{V}

.

I^{″} = L C \ddot{I}

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이 방정식의 일반해는

V (x, t) = \int V_{0} (ω) \exp (i ω (\sqrt{L C} x - t)) d ω

이다. 따라서, 전신선을 통해 전달되는 신호의 속도는 $1 / \sqrt{L C}$ 임을 알 수 있다.