푸아송 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 푸아송 방정식(Poisson方程式, 틀:Llang)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

정의

$n$ 차원 다양체 $M$ 위에서, $f$ 가 $M$ 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수 $ϕ$ 에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

Δ ϕ = f

여기서 $Δ$ 는 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 $M$ 이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. $n$ 차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수 $G_{n} (𝐫)$ 는 다음과 같다.

G_{1} (r) = - \frac{| r |}{2}

G_{2} (𝐫) = - \frac{\ln (‖ 𝐫 ‖)}{2 π}

G_{n} (𝐫) = \frac{1}{V_{n} ‖ 𝐫 ‖^{n - 2}}

(

n > 2

)

여기서

V_{n} = 2 π^{n / 2} / Γ (n / 2)

은 반지름이 1인 $n - 1$ 차원 초구의 (초)면적이고, $Γ$ 는 감마 함수다. 예를 들어

V_{1} = 2

V_{2} = 2 π

V_{3} = 4 π

V_{4} = 2 π^{2}

이다. 그린 함수 $G_{n}$ 은 다음을 만족시킨다.

Δ G_{n} (𝐫) = - δ^{(n)} (𝐫)

여기서 $δ^{(n)}$ 는 $n$ 차원 디랙 델타 함수다.

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 $f$ 는 주어진 전하 밀도이고, $ϕ$ 는 전위로 해석한다.