헬름홀츠 방정식

수학에서 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자 및 생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

정의

$n$ 차원 유클리드 공간 위에 함수 $f : ℝ^{n} \to ℝ$ 을 생각해 보자. 그렇다면 $f$ 에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

(\nabla^{2} + k^{2}) f (𝐱) = 0 .

여기서 $\nabla^{2}$ 는 라플라스 연산자이고, $k$ 는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

f (r, θ) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ) (c_{n} J_{n} (k r) + d_{n} Y_{n} (k r))

.

여기서 $J_{n} (k r)$ 과 $Y_{n} (k r)$ 은 베셀 함수다. 만약 $f$ 가 원점 $r = 0$ 에서 연속적이려면 ( $Y_{n} (k r)$ 은 원점에서 발산하므로) $d_{n} = 0$ 이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

f (r, θ, ϕ) = \sum_{m, l} Y_{l}^{m} (θ, ϕ) (c_{n} j_{n} (k r) + d_{n} y_{n} (k r))

.

여기서 $j_{n} (k r)$ 과 $y_{n} (k r)$ 은 구면 베셀 함수이고, $Y_{l}^{m} (θ, ϕ)$ 는 구면 조화 함수다.

응용

$k^{2} = - m^{2}$ 이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

(\nabla^{2} - m^{2}) f (𝐱) = δ (𝐱)

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 $r = ‖ 𝐱 ‖$ 이다.

차원	그린 함수	$m = 0$ 인 그린 함수
2	$- K_{0} (m x) / 2 π$	$(\ln r) / 2 π$
3	$- \exp (- m r) / (4 π r)$	$- 1 / (4 π r)$
n>2	$- (n - 2) (2 π)^{- 1} (m / 2 π r)^{n / 2 - 1} K_{n / 2 - 1} (m r)$	$- 1 / (V_{n} r^{n - 2})$

여기서

V_{n} = \frac{2 π^{n / 2}}{Γ (n / 2)}

(

n > 2

)

는 반지름이 1인 $n - 1$ 차원 초구의 (초)면적이고, $Γ$ 는 감마 함수다. $K_{α} (x)$ 는 베셀 함수의 하나다. $m = 0$ 인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 $m$ 의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.

같이 보기

참고 문헌

틀:전거 통제

헬름홀츠 방정식

목차

정의

2차원 헬름홀츠 방정식

3차원 헬름홀츠 방정식

응용

같이 보기

참고 문헌

둘러보기 메뉴

헬름홀츠 방정식

정의

2차원 헬름홀츠 방정식

3차원 헬름홀츠 방정식

응용

같이 보기

참고 문헌

둘러보기 메뉴

검색