라플라스 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다. 틀:포털

정의

$n$차원 리만 다양체에서 $\mathrm{\Delta }$가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.

$\mathrm{\Delta }\varphi =0$.

3차원 유클리드 공간에서는

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

이므로,

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}=0$

이 된다.

관련된 편미분 방정식

우변을 주어진 함수 $f(x,y,z)$로 바꾼 경우

$\mathrm{\Delta }\varphi =f$

는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 $f=0$인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면

$\mathrm{\Delta }\varphi =k^2\varphi$

헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 $k^2=0$인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)

경계 조건

라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 $D$의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 $D$위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 $\phi$ 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

2차원 라플라스 방정식

2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}\equiv {\psi }_{xx}+{\psi }_{yy}=0.$

의 형태로 나타난다.

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식

$u(x+h,y)+u(x,y+h)+u(x-h,y)+u(x,y-h)-4u(x,y)=0$

$h$는 격하게 (mesh size)

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

$u(x+h,y)+u(x,y+h)+u(x-h,y)+u(x,y-h)-4u(x,y)=h^{2}f(x,y)$

해석적 함수

복소 범위의 해석적 함수 $f$의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. $z=x+iy$이고

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

라 하자. $f(z)$가 해석적이려면

$u_x=v_y,v_x=-u_y$

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

$(u_y{)}_y=(-v_x{)}_y=-(v_y{)}_x=-(u_x{)}_x$

이다. 따라서 $u$는 라플라스 방정식을 만족한다. $v$도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수

극좌표계 $(r,\theta )$에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

$\mathrm{\Delta }=r^{-1}\frac{\partial }{\partial r}r\frac{\partial }{\partial r}+r^{-2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}$.

따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.

$\varphi (r,\theta )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_n{r}^n\cos n\varphi +b_n{r}^n\sin n\theta )$.

이는 함수 $\varphi$의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는

$\varphi (r,\theta )=\mathrm{Re}[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_n-i{b}_n)z^n]$

으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

3차원 라플라스 방정식

3차원 공간에서, 구면좌표계 $(r,\theta ,\varphi )$에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l(a_l^m{r}^l+b_l^m{r}^{-l-1})Y_l^m(\theta ,\varphi )$.

여기서 $Y_l^m(\theta ,\varphi )$는 구면 조화 함수이고, $a_l^m$와 $b_l^m$은 임의의 계수다. 물론, $f$가 원점에서 연속적이려면 $b_l^m=0$이다.

같이 보기

• 헬름홀츠 방정식
• 퍼텐셜 이론
• 포텐셜 유동
• 언쇼 정리