타이히뮐러 공간

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 타이히뮐러 공간(틀:Llang)은 주어진 (위상수학적) 곡면의 복소 구조들의 모듈라이 공간이다. 이는 자연스럽게 복소 구조 및 다양한 계량들을 가진다.

역사 및 어원

오스발트 타이히뮐러(틀:Llang)의 이름을 땄다.

정의

2차원 다양체 $\mathrm{\Sigma }$ 위에 복소 구조들의 집합을 $𝒥$라고 하자. 여기에, 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

$J\sim {\varphi }^{*}J\mathrm{\forall }\varphi \in {\mathrm{Homeo}}_0(\mathrm{\Sigma })$

여기서 $\mathrm{Homeo}(\mathrm{\Sigma })$는 위상동형사상 $\varphi :\mathrm{\Sigma }\to \mathrm{\Sigma }$들의 군이며, ${\mathrm{Homeo}}_0(\mathrm{\Sigma })$는 그 가운데 단위원(항등함수)을 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 이 동치관계에 대한 동치류 $𝒥/\sim ={𝒯}_{\mathrm{\Sigma }}$는 자연스럽게 유한차원 다양체를 이루며, 또한 자연스러운 복소 구조가 존재한다.

복소 구조의 모듈라이 공간은 ${\mathrm{Homeo}}_0(\mathrm{\Sigma })$ 대신 $\mathrm{Homeo}(\mathrm{\Sigma })$를 사용하여 정의한다. 따라서,

$0\to {\mathrm{Homeo}}_0(\mathrm{\Sigma })\hookrightarrow \mathrm{Homeo}(\mathrm{\Sigma })\twoheadrightarrow \mathrm{MCG}(\mathrm{\Sigma })\to 0$

이므로, 복소 구조의 모듈러스 공간은 타이히뮐러 공간에 $\mathrm{MCG}(\mathrm{\Sigma })$에 대한 몫공간을 취한 오비폴드다. 여기서 $\mathrm{MCG}(\mathrm{\Sigma })$는 $\mathrm{\Sigma }$의 사상류군(틀:Llang)이다. 타이히뮐러 공간과 모듈러스 공간의 차이에 대하여, 윌리엄 서스턴은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

종수가 $g$이고, $n$개의 점을 제거한 리만 곡면 ${\mathrm{\Sigma }}_{g,n}$의 타이히뮐러 공간을 ${𝒯}_{g,n}$으로 쓰며, 복소 모듈러스 공간을 ${ℳ}_{g,n}$이라고 쓴다. 즉,

${ℳ}_{g,n}={𝒯}_{g,n}/\mathrm{MCG}({\mathrm{\Sigma }}_{g,n})$

이다.

성질

차원

타이히뮐러 공간 ${𝒯}_{g,0}$의 접공간은 다음과 같다.

${\mathrm{T}}_{\mathrm{\Sigma }}{𝒯}_{g,0}={\mathrm{H}}^1(\mathrm{\Sigma };T)={\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma };2K{)}^{*}$

여기서

• $T={\mathrm{T}}^{+}\mathrm{\Sigma }$는 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 정칙 벡터 다발들의 선다발의 인자이다.
• $K=-T={\mathrm{\Omega }}^{1,0}\mathrm{\Sigma }$는 리만 곡면의 표준 선다발의 인자이다.

두 번째 등식은 세르 쌍대성에 의한 것이다. 즉, 그 공변접공간은 이차 미분(선다발 $2K$의 단면)으로 구성된다.

$g>1$인 경우, 타이히뮐러 공간 ${𝒯}_{g,n}$의 차원은 다음과 같다.

$\dim {𝒯}_{g,n}=3g-3+n$

$n=0$일 때의 유도:

타이히뮐러 공간의 차원은 그 공변접공간의 차원과 같다.

$\dim {𝒯}_{g,0}=\dim {\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma };2K)$

$g=0$일 경우, 이는 리만 구이다. 그 위의 모든 선다발은 $𝒪(d)$의 꼴이며, 그 가운데 대역적 단면을 갖는 것은 자명한 선다발 $𝒪(0)$ 밖에 없다. 특히, $\dim {\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma };2K)=0$이며, 타이히뮐러 공간은 한원소 공간이다.

리만-로흐 정리에 따라,

$\dim H^0(\mathrm{\Sigma };-K)-\dim H^0(\mathrm{\Sigma };2K)=\mathrm{deg}(-K)+1-g$

이다. 그런데

$\mathrm{deg}(-K)=-\mathrm{deg}K=2-2g$

이다. 즉,

$\dim {ℳ}_g=\dim H^0(\mathrm{\Sigma };2K)=3g-3+\dim H^0(\mathrm{\Sigma };T)$

이다. 여기서 $\dim H^0(\mathrm{\Sigma };T)$는 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 정칙 벡터장들의 공간의 차원이다. $g>1$이면 이러한 벡터장이 존재하지 않으므로,

$\dim {𝒯}_{g,0}=3g-3$

이다. $g=1$일 경우, 복소수 원환면 전체에 정의되는 정칙 벡터장은 상수 벡터장이며, 그 공간은 1차원이다. 따라서

$\dim {𝒯}_{1,0}=3g-3+1=1$

이다. $g=0$일 경우, $-K=𝒪(\mathrm{deg}K)=𝒪(2)$이며, $\dim {\mathrm{H}}^0(𝒪(d))=\max \{d+1,0\}$이므로

$\dim {\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma };-K)=3$

이다. 따라서

$\dim {𝒯}_{0,0}=3g-3+3=0$

이다.

베유-페테르손 계량

타이히뮐러 공간 위에는 베유-페테르손 계량(틀:Llang)이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다.

이 경우, 임의의 접벡터 $\psi ,\chi \in T{ℳ}_g\cong H^0(\mathrm{\Sigma };K)$에 대하여, 베유-페테르손 계량은 다음과 같다.

$⟨\psi ,\chi ⟩=[\mathrm{\Sigma }]⌢(\psi ⌣\chi )=\underset{\sigma }{\int }\psi \wedge \chi$

여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소의 선택에 의존하지 않는다.

콤팩트화

타이히뮐러 공간에는 자연스러운 콤팩트화가 존재한다. 이는 윌리엄 서스턴이 도입하였고, 서스턴 콤팩트화(틀:Llang)라고 한다. 이 밖에도 다른 여러 콤팩트화를 정의할 수 있지만, 서스턴 콤팩트화에서는 모듈러 군의 작용이 콤팩트화 타이히뮐러 공간 전체에 연속적으로 작용하게 되므로 가장 많이 쓰인다.

모듈러스 공간 ${ℳ}_{g,n}$의 경우, 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(틀:Llang) 또는 크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(틀:Llang) 또는 안정 콤팩트화(틀:Llang)가 존재한다. 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화 모듈러스 공간 위에서, 베유-페테르손 계량은 완비 계량이다.

예

종수 0

종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면 $\widehat{ℂ}=ℂ\cap \{\hat{\mathrm{\infty }}\}$이 유일하다. 즉, 복소 모듈러스 공간 ${ℳ}_0=\{\bullet \}$은 하나의 점만을 포함한다.

타이히뮐러 공간 ${𝒯}_{0,0}$, ${𝒯}_{0,1}$, ${𝒯}_{0,2}$, ${𝒯}_{0,3}$은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여, 임의의 3개의 점을 다른 임의의 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 서로 다른 3개의 점 $z_1,z_2,z_3\in \widehat{ℂ}$이 주어진다면, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 사용해 이들을 각각 $0,1,\hat{\mathrm{\infty }}\in \widehat{ℂ}$로 보낼 수 있다.

$z\mapsto \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$

${𝒯}_{0,4}$는 1차원으로, 복소 상반평면 $ℍ$와 동형이다. 이 경우 복소 모듈러스 공간은 ${ℳ}_{0,4}\cong \widehat{ℂ}\setminus \{0,1,\hat{\mathrm{\infty }}\}$이다. 여기에 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화를 가하면 삭제된 점들이 추가돼 ${\widehat{ℳ}}_{0,4}\cong \widehat{ℂ}$이 된다.

일반적으로, 모듈러스 공간 ${ℳ}_{0,n}$은 다음과 같다.

${ℳ}_{0,n}=({\widehat{ℂ}}^n\setminus {\mathrm{\Delta }}_n)/\mathrm{PGL}(2;ℂ)$

여기서

• ${\mathrm{\Delta }}_n=\{(z_1,\dots ,z_i,\dots ,z_n)\in {\widehat{ℂ}}^n:\mathrm{\exists }i\ne j:z_i=z_j\}$는 두 개 이상의 좌표가 겹치는 점들의 집합이다.
• $\mathrm{PGL}(2;ℂ)$는 $\widehat{ℂ}$에 작용하는 뫼비우스 변환들의 군이며, ${\widehat{ℂ}}^n$에는 대각형(diagonal)으로 작용한다.

종수 1

타원 곡선의 모듈러스 공간은 상반평면의 모듈러 군 작용에 대한 몫공간이며, 이는 기본 영역(회색으로 칠해진 영역)으로 나타낼 수 있다.

종수 1의 리만 곡면은 (비특이 복소) 타원 곡선이다. 이는 복소 평면에 2차원 격자에 대한 몫공간을 취해 얻을 수 있다.

$z\mapsto z+n_1{\omega }_1+n_2{\omega }_2$ ($n_1,n_2\in \mathbb{Z}$)

복소 구조는 두 주기의 비 $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$에만 의존하게 된다. 이 경우, 복소 구조 모듈러스 공간 ${ℳ}_0$은 상반평면 $ℍ$에 다음과 같은 몫공간을 취한 오비폴드이다.

$\tau \sim \frac{a\tau +b}{c\tau +d}$ ($\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$)

이 경우, 사상류군

$\mathrm{MCG}(T^2)=\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/(M\sim -M)=\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})=\mathrm{\Gamma }$

은 모듈러 군이라고 한다. 이 경우 타이히뮐러 공간은 물론 ${𝒯}_{1,0}=ℍ$이다. 이 몫공간은 다음과 같은 기본 영역(基本領域, 틀:Llang)으로 나타낼 수 있다.

$R=\{\tau \in ℍ:|\tau |>1,|\mathrm{Re}\tau |<1/2\}$

타원 곡선 모듈라이 공간 ${ℳ}_1\cong ℍ/\mathrm{\Gamma }$는 위상수학적으로 ${ℝ}^2$와 위상동형이다. 여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)을 통해 $S^2$와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간 ${\widehat{ℳ}}_1$을 정의할 수 있다. 이 경우, 추가된 점은 기본 영역에서 $z=+i\mathrm{\infty }$에 해당한다. 이 경우, 위상동형사상은 j-불변량 $j:{\widehat{ℳ}}_1\to \widehat{ℂ}$으로 주어진다.

${𝒯}_{1,0}$, ${𝒯}_{1,1}$은 모두 복소 상반평면 $ℍ$와 동형이다.

종수 2 이상

종수 2 이상의 경우, 차원 공식에 따라서 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한차원이다. 이 경우, 그 사상류군은 타이히뮐러 모듈러 군(틀:Llang)이라고 한다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:Springer
• 틀:Springer
• 틀:Springer
• 틀:매스월드