J-불변량

수학에서 $j$ -불변량(j-不變量, 틀:Llang)은 모듈러 함수의 하나다. $j$ -불변량의 모든 유리 함수 또한 모듈러 함수이며, 모든 모듈러 함수는 $j$ -불변량의 유리 함수로 나타낼 수 있다.

정의

상반평면 $τ \in ℍ$ 에 대하여, 다음과 같은 함수들을 정의하자.

g_{2} (τ) = 60 \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} (m + n τ)^{- 4}

g_{3} (τ) = 140 \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} (m + n τ)^{- 6}

그렇다면 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

j (τ) = 1728 \frac{g_{2} (τ)^{3}}{g_{2} (τ)^{3} - 27 g_{3} (τ)^{2}}

이를 $j$ -불변량이라고 한다. 일부 문헌에서는 $j (τ)$ 대신 $J (τ) = j (τ) / 1728$ 을 사용하기도 한다.

특별한 점에서 $j$ -불변량의 값은 다음과 같다.

τ	i	exp(2πi/3)	exp(2πi/6)	i∞	$(1 + i \sqrt{7}) / 2$	$(1 + i \sqrt{11}) / 2$	$(1 + i \sqrt{19}) / 2$	$(1 + i \sqrt{43}) / 2$	$(1 + i \sqrt{67}) / 2$	$(1 + i \sqrt{163}) / 2$
j(τ)	1728	0	0	∞	−15³	−32³	−96³	−960³	−5280³	−640320³

이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67은 헤그너 수이다.

틀:본문 $d$ 가 헤그너 수라면 $j ((1 + i \sqrt{d}) / 2)$ 는 정수이다. 따라서, 그 푸리에 급수에 따라서

j ((1 + i \sqrt{d}) / 2) = \frac{1}{q} + 744 + 196884 q + \dots

이다. 여기서 $d$ 가 크다면

q = - \exp (- π \sqrt{d})

의 절댓값은 매우 작다. 따라서 푸리에 급수의 고차항을 버리고, 다음과 같은 근사식을 쓸 수 있다.

\exp (π \sqrt{d}) + 744 \approx j ((1 + i \sqrt{d}) / 2) \in ℤ

즉, $\exp (π \sqrt{d})$ 는 정수에 매우 가까운 초월수이다. 가장 큰 헤그너 수 $d = 163$ 을 사용하면

e^{π \sqrt{163}} = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25 \dots

j-불변량의 푸리에 급수는 $q = \exp (2 π i τ)$ 를 사용하여 적으면 다음과 같다 틀:OEIS

j (τ) = \frac{1}{q} + 744 + 196884 q + 21493760 q^{2} + 864299970 q^{3} + 20245856256 q^{4} + 333202640600 q^{5} + \dots

이 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 관계있다.

\begin{matrix} 1 & = 1 \\ 196884 & = 196883 + 1 \\ 21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\ 864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2 \cdot 196883 + 2 \cdot 1 \\ 20245856256 & = 18538750076 + 2 \cdot 842609326 + 21296876 + 3 \cdot 196883 + 3 \cdot 1 \\ = 19360062527 + 842609326 + 2 \cdot 21296876 + 3 \cdot 196883 + 2 \cdot 1 \\ 333202640600 & = 293553734298 + 2 \cdot 18538750076 + 3 \cdot 842609326 + 2 \cdot 21296876 + 5 \cdot 196883 + 5 \cdot 1 \\ = 293553734298 + 19360062527 + 18538750076 + 2 \cdot 842609326 + 3 \cdot 21296876 + 5 \cdot 196883 + 4 \cdot 1 \\ 4252023300096 & = 3879214937598 + 293553734298 + 4 \cdot 18538750076 + 6 \cdot 842609326 + 2 \cdot 21296876 + 7 \cdot 196883 + 7 \cdot 1 \\ ⋮ \end{matrix}

이 관계를 가공할 헛소리(틀:Llang)라고 한다. 여기서 틀:Llang(가공할, 말도 안 되는)는 괴물 군(틀:Llang)에 대한 말장난이다. 이 놀라운 관계는 원래 존 매케이(틀:Llang, 1939–)가 1970년대에 최초로 발견하였고, 존 호턴 콘웨이가 이러한 이름을 붙였다. 이 사실은 리처드 보처즈가 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 사용해 설명하였고, 이 공로로 필즈상을 수상하였다.