타원형 미분 연산자

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 타원형 미분 연산자(楕圓型微分演算子, 틀:Llang)는 라플라스형 연산자와 유사한 일종의 양의 정부호성 조건을 만족시키는 짝수차 미분 연산자이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 다양체 $(M,g)$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $E$의 올 위의 매끄러운 양의 정부호 내적 $⟨,⟩$

만약 유한 차수 $k<\mathrm{\infty }$의 미분 작용소

$D:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

가 다음 조건을 만족시킨다면, $D$를 타원형 미분 연산자라고 한다.

$\underset{(x,\xi )\in {\mathrm{T}}_x^{*}X\setminus X,v\in E_x}{\inf }\frac{⟨{\sigma }_D(\stackrel{k}{\overbrace{\xi ,\xi ,\dots ,\xi }},v),v⟩}{⟨v,v⟩(g^{-1}(\xi ,\xi ){)}^{k/2}}>0$

여기서 ${\sigma }_D$는 미분 연산자 $D$의 주표상이다.

모든 타원형 미분 연산자는 짝수 차수이다. (홀수 차수일 경우 ${\sigma }_D(-\xi ,\dots ,-\xi ,v)=-{\sigma }_D(\xi ,\dots ,\xi ,v)$가 된다.)

타원형 미분 연산자 $D$로 정의되는 선형 편미분 방정식, 즉

$Df=g(f,g\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E))$

의 꼴의 선형 편미분 방정식을 타원형 편미분 방정식(楕圓型偏微分方程式, 틀:Llang)이라고 한다.

약타원형 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $(M,g)$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

만약 모든 $x\in X$ 및 $\xi \in {\mathrm{T}}_x^{*}X\setminus \{0\}$에 대하여 ${\sigma }_P(x,\xi ):E_x\to F_x$가 실수 벡터 공간의 동형 사상이라면, $P$를 약타원형 미분 연산자(弱楕圓型微分演算子, 틀:Llang)라고 한다. 유한 개의 약타원형 미분 연산자의 합성은 약타원형 미분 연산자이다.

모든 타원형 미분 연산자는 약타원형 미분 연산자이다.

성질

차수

2차원 이상 매끄러운 다양체 위의 타원형 미분 연산자는 항상 짝수 차수이다.

증명:

$n\ge 2$일 때, $n$차원 다양체의 임의의 점에서, $k$차 미분 연산자 $D$의 주표상이 $k$차 동차 다항식

$\sigma (x_1,x_2,\dots ,x_n)$

이라고 하자. 그렇다면,

$\sigma (x,1,0,0,\dots ,0)=p(x)=\sum _{i=0}^k{a}_i{x}^i$

를 생각하자. 만약 $a_k=0$이라면,

$\sigma (1,0,0,0,\dots ,0)=0$

이므로 $D$는 타원형 미분 연산자가 아니다. 만약 $a_k\ne 0$이라면,

$p(x)=a_k{x}^k+\cdots$

는 $k$차 다항식이다. $k$가 홀수라면, 이 다항식은 항상 근

$p(\alpha )=0$

을 가진다. 그렇다면

$\sigma (\alpha ,1,0,0,\dots ,0)=p(\alpha )=0$

이므로 $D$는 타원형 미분 연산자가 아니다.

반면, 1차원 매끄러운 다양체 (= 매끄러운 곡선) 위에서는 임의의 홀수 차수의 타원형 미분 연산자가 존재한다. 그러나 이 경우는 상미분 방정식에 해당하므로, 자명한 경우로 취급한다.

정칙성

리만 다양체 $M$위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 자기 수반 타원형 미분 연산자

$D:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다.

• $\dim \ker D<\mathrm{\infty }$. 다시 말해, 타원형 연산자로 정의된 동차 편미분 방정식 $Df=0$은 유한 개의 일차 독립 해를 갖는다.
• ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)=\ker D\oplus \mathrm{im}D$

이를 타원형 정칙성 정리(틀:Llang)라고 한다.

준타원성

(매끄러운 함수 계수의) 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

예

리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 2차 타원형 미분 연산자이며, 그 상수는 1이다. 마찬가지로, 보다 일반적으로 리만 다양체 위의 라플라스형 연산자는 상수 1의 타원형 미분 연산자이다.

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 내적을 갖춘 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 0차 미분 연산자 $D$가 타원형 미분 연산자가 될 필요 충분 조건은 모든 올에서 이차 형식 $⟨-,D_x-⟩$가 양의 정부호 이차 형식이며, 또한 양의 정부호성이 다음과 같이 균등한 것이다.

$\underset{x\in X}{\inf }\underset{v\in E_x\setminus \{0\}}{\inf }\frac{⟨v,D_{x}v⟩}{⟨v,⟩v}\ge 0$

즉, $D_x$의 고윳값 가운데 최솟값을 ${\lambda }_{\min }(x)$라고 하면,

$\underset{x\in X}{\inf }{\lambda }_{\min }(x)>0$

이어야 한다. 이는 연속 함수이므로, 만약 $M$이 콤팩트 공간이라면 이는 올별 양의 정부호성에 의하여 자동적으로 함의된다.

1차원 다양체 위의 타원형 미분 연산자

$C$가 1차원 매끄러운 다양체(즉, 매끄러운 곡선)이라고 하고, 그 좌표를 $t$라고 하자. 그 위의 (자명한 1차원 벡터 다발의) $k$차 미분 연산자는

$\sum _{i=0}^k{a}_i(x)\frac{{\mathrm{d}}^i}{\mathrm{d}{t}^i}$

의 꼴이다. 이 미분 연산자가 $k$차 타원형 미분 연산자일 필요 충분 조건은 임의의 $t\in C$에 대하여 $a_k(t)\ne 0$인 것이다.

같이 보기

• 준타원형 미분 연산자
• 타원 복합체

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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