준타원형 미분 연산자

틀:위키데이터 속성 추적 편미분 방정식 이론에서, 준타원형 미분 연산자(準楕圓型微分演算子, 틀:Llang)는 매끄러운 함수의 원상이 매끄러운 함수인 미분 연산자이다. 매끄러운 계수의 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형이지만, 타원형이 아닌 준타원형 미분 연산자가 존재한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $U$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow U$
• 미분 연산자 $D:{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U,E)\to {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U,E)$

만약 임의의

• 열린집합 $V\subseteq U$
• 분포 $u\in 𝒟(V,E)$

에 대하여,

$Du\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(V,E)⟹u\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(V,E)$

이라면, $D$를 준타원형 미분 연산자라고 한다.

성질

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ 계수의 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 특히, 리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 매끄러운 계수의 타원형 미분 연산자이므로 준타원형 미분 연산자이다.

예

매끄러운 다양체

$U=ℝ\times {ℝ}^n=\{(t,x^1,x^2,\dots ,x^n):t,x^1,x^2,\dots ,x^n\in ℝ\}$

위의 열방정식 미분 연산자

$D=\frac{\partial }{\partial t}-\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{(\partial x^i{)}^2}$

는 준타원형 미분 연산자이지만, 타원형 미분 연산자가 아니다. (주표상이 $\mathrm{diag}(0,-1,-1,\dots ,-1)$이므로, 음의 정부호가 아니다.)

반면, 같은 매끄러운 다양체 위의 파동 방정식 미분 연산자

${◻}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{(\partial x^i{)}^2}$

는 타원형 미분 연산자도, 준타원형 미분 연산자도 아니다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용
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