일차 독립 집합

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 일차 독립 집합(一次獨立集合, 틀:Llang) 또는 선형 독립 집합(線型獨立集合)은 모든 벡터가 남은 벡터들의 일차 결합으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합이다.

정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $I\subseteq V$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $I$를 $V$의 일차 독립 집합이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 $i_1,\dots ,i_n\in I$ 및 $c_1,\dots ,c_n\in K$에 대하여, 만약 $c_1{i}_1+\cdots +c_n{i}_n=0_V$라면, $0_K=c_1=\cdots =c_n$이다. (여기서 $0_V\in V$와 $0_K\in K$는 각각 $V$와 $K$의 덧셈 항등원이다.)
• 임의의 $i\in I$에 대하여, $i\in ̸{\mathrm{Span}}_K(I\setminus \{i\})$이다. (여기서 ${\mathrm{Span}}_K(-)$는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.)

두 조건의 동치는 체의 모든 0이 아닌 원소가 가역원이라는 성질에 의존하며, 일반적인 환 위의 가군에서는 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 함의한다. 일차 독립 집합이 아닌 벡터 공간의 부분 집합을 일차 종속 집합(一次從屬集合, 틀:Llang) 또는 선형 종속 집합(線型從屬集合)이라고 한다. 부분 중복 집합에 대하여 마찬가지로 일차 독립 중복집합(一次獨立重復集合, 틀:Llang)과 일차 종속 중복집합(一次從屬重復集合, 틀:Llang)을 정의할 수 있다.

성질

일차 독립 집합의 모든 부분 집합은 일차 독립 집합이다. 일차 종속 집합을 포함하는 부분 집합은 일차 종속 집합이다.

예

공집합은 벡터 공간의 일차 독립 집합이다. 체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 한원소 부분 집합 $\{v\}\subseteq V$가 일차 독립 집합일 필요충분조건은 $v\ne 0_V$이다.

같이 보기

• 기저 (선형대수학)
• 아핀 독립 집합

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드