클리퍼드 군

틀:위키데이터 속성 추적 이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 틀:Llang)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

국소 동차 원소

가환환 $K$가 주어졌을 때, $\mathbb{Z}/2$-등급 $K$-대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• $(1-k)a\in A_0$, $ka\in A_1$인 원소 $k\in K$가 존재한다.
• 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}K$에 대하여, $a\in A{\otimes }_K{K}_{𝔭}$는 동차 원소이다. 여기서 $\mathrm{Spec}K$는 환의 스펙트럼이며, $K_{𝔭}$는 $K\setminus 𝔭$에서의 가환환의 국소화이다.
• 모든 극대 아이디얼 $𝔪$에 대하여, $a\in A{\otimes }_K{K}_{𝔪}$는 동차 원소이다. 여기서 $K_{𝔪}$는 $K\setminus 𝔪$에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 $K$가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 $A_{\text{lh}}^{\times }$은 $A$의 가역원군 $A^{\times }$의 부분군을 이룬다.

$A_0^{\times }\subseteq A_{\text{lh}}^{\times }\subseteq A^{\times }$

국소 동차 가역원 $a\in A_{\text{lh}}^{\times }$가 주어졌으며, $k\in K$가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, $A=(1-k)A\oplus kA$이며, 다음과 같은 $A$-자기 동형을 정의할 수 있다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{\Theta }}_a:A\to A$

${\mathrm{\Theta }}_a:b\mapsto (1-k)xa{x}^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}$

여기서

$\alpha :(a_0+a_1)\mapsto (a_0-a_1)\mathrm{\forall }{a}_0\in A_0,a_1\in A_1$

는 $\mathbb{Z}/2$ 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q)$의 클리퍼드 군(틀:Llang)

$\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\subseteq (\mathrm{Cliff}(V,Q){)}_{\text{lh}}^{\times }$

은 다음과 같은 원소 $x\in \mathrm{Cliff}(V,Q)$로 구성된, 가역원군의 부분군이다.틀:Rp

• $x$는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
• ${\mathrm{\Theta }}_x(V)\subseteq V$이다.
• 모든 $v\in V$에 대하여, $Q({\mathrm{\Theta }}_x(v))=Q(v)$이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q)$의 특수 클리퍼드 군(틀:Llang)

$\mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\subseteq \mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\subseteq \mathrm{Cliff}(V,Q{)}^{\times }$

은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)=\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\cap {\mathrm{Cliff}}_0(V,Q;K)$

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 $\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)$의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

$\mathrm{Pin}(V,Q;K)=\{x\in \mathrm{\Gamma }(V,Q;K):\alpha (x)x=1\}$

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

$\mathrm{Spin}(V,Q;K)=\mathrm{Pin}(V,Q;K)\cap \mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)$

성질

임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Spin}(V,Q;K)& \subset & \mathrm{Pin}(V,Q;K)\\ \cap & & \cap \\ \mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)& \subset & \mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\\ \cap & & \cap \\ {\mathrm{Cliff}}_0(V,Q;K{)}^{\times }& \subset & \mathrm{Cliff}(V,Q;K{)}^{\times }\end{array}$

체 위의 클리퍼드 군

$K$가 체라고 하고, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 $K$-대수군의 짧은 완전열을 이룬다.

$\begin{array}{ccccccc}& & 1& & 1& & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & {\mu }_2(K)& \to & K^{\times }& \to & (K^{\times }{)}^2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{Pin}(V,Q;K)& \to & \mathrm{\Gamma }(V,Q;K)& \to & K^{\times }& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{\Omega }(V,Q;K)& \to & \mathrm{O}(V,Q;K)& \to & K^{\times }/(K^{\times }{)}^2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 1& & 1& & 1\end{array}$

여기서

• ${\mu }_2(K)=\{a\in K^{\times }:a^2=1\}$은 $K$에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 $K$의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
• $(K^{\times }{)}^2\subseteq K^{\times }$는 $K^{\times }$ 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 $K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$는 $K$의 제곱 유군이다.
• 준동형 $\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\to K^{\times }$은 스피너 노름이다. 마찬가지로 $\mathrm{O}(V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$ 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
• $\mathrm{\Omega }(V,Q;K)\subseteq \mathrm{O}(V,Q;K)$는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 $\mathrm{O}(V,Q;K)$의 부분군이다.
• 준동형 $\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\to \mathrm{O}(V,Q;K)$는 클리퍼드 군의 $V$ 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. $\mathrm{Pin}(V,Q;K)\to \mathrm{\Omega }(V,Q;K)$ 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

$\begin{array}{ccccccc}& & 1& & 1& & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & {\mu }_2(K)& \to & K^{\times }& \to & (K^{\times }{)}^2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{Spin}(V,Q;K)& \to & \mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)& \to & K^{\times }& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{S}\mathrm{\Omega }(V,Q;K)& \to & \mathrm{SO}(V,Q;K)& \to & K^{\times }/(K^{\times }{)}^2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 1& & 1& & 1\end{array}$

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccc}& & 1& & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & {\mu }_2(K)& \to & {\mu }_2(K)& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{Spin}(V,Q;K)& \to & \mathrm{Pin}(V,Q;K)& \to & \mathbb{Z}/2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{S}\mathrm{\Omega }(V,Q;K)& \to & \mathrm{\Omega }(V,Q;K)& \to & \mathbb{Z}/2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 1& & 1& & 1\end{array}$

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccc}& & 1& & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & K^{\times }& \to & K^{\times }& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)& \to & \mathrm{\Gamma }(V,Q;K)& \to & \mathbb{Z}/2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{SO}(V,Q;K)& \to & \mathrm{O}(V,Q;K)& \to & \mathbb{Z}/2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 1& & 1& & 1\end{array}$

여기서

• $\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\to \mathbb{Z}/2$는 딕슨 불변량이며, $\mathrm{Pin}(V,Q;K)\to \mathbb{Z}/2$는 그 제한이다.
• $\mathrm{O}(V,Q;K)\to \mathbb{Z}/2$는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, $\mathrm{SO}(V,Q;K)\to \mathbb{Z}/2$는 그 제한이다.

실수 계수

$K=ℝ$이며, $V$가 $n$차원 실수 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식일 때, $\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ)$의 가역원군 $\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ{)}^{\times }$은 $2^n$차원 리 군을 이룬다. 만약 $Q$가 음의 정부호 이차 형식이라면, $\mathrm{\Gamma }(0,n;ℝ)$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 ${\mathrm{\Gamma }}_0(V,Q;ℝ)$는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to {ℝ}^{\times }\to \mathrm{\Gamma }(0,n;ℝ)\to \mathrm{O}(n;ℝ)\to 1$

$1\to {ℝ}^{\times }\to \mathrm{S}\mathrm{\Gamma }(0,n;ℝ)\to \mathrm{SO}(n;ℝ)\to 1$

즉, $\mathrm{\Gamma }(0,n;ℝ)$는 $n(n-1)/2+1$차원 리 군이다. 전체 가역원군 $\mathrm{Cliff}(0,n;ℝ{)}^{\times }$은 $2^n$차원 리 군이므로, 이는 여차원 $2^n-n(n-1)/2-1$의 부분군이다.

직교군과의 관계

정의에 따라, 클리퍼드 군 $\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)$는 $V$ 위의 $K$-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 $Q$를 보존하며, 따라서 직교군

$\mathrm{O}(V,Q;K)=\{f\in {\mathrm{End}}_K(V):Q\circ f=Q\}$

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)\to \mathrm{O}(V,Q;K)$

클리퍼드 군 $\mathrm{\Gamma }(V,Q;K)$는 $\{v\in V:Q(v)\in K^{\times }\}$를 부분 집합으로 포함한다 ($K^{\times }$는 $K$의 가역원군). 이 경우

$v^{-1}=\frac{v}{Q(v)}$

$vu\alpha (v{)}^{-1}=-\frac{vuv}{Q(v)}=\frac{v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}=u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}\mathrm{\forall }u\in V$

이다. 즉, $v\in V$의 작용은 $u$를 축 $v$에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량

$K$가 체이며, $V$가 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(틀:Llang)이라는 군 준동형이 존재한다.

$D:\mathrm{Pin}(V,Q;K)\to \mathbb{Z}/2$

$D:x\mapsto \mathrm{rank}(u\mapsto u-xu\alpha (x{)}^{-1})mod2$

즉, 이는 $u$로 인하여 생성되는 $V$-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

$D(x)=(-1{)}^{\det (u\mapsto xu\alpha (x{)}^{-1})}$

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

$\mathrm{Spin}(V,Q;K)=\ker D=\{x\in \mathrm{Pin}(V,Q;K):D(x)=0\}$

갈루아 코호몰로지와의 관계

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 비퇴화 이차 형식 $Q$에 대하여, 짧은 완전열

$1\to {\mu }_2(K^{\mathrm{sep}})\to \mathrm{Pin}(V,Q;K^{\mathrm{sep}})\to \mathrm{O}(V,Q;K^{\mathrm{sep}})\to 1$

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K);-)$의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

$1\to {\mu }_2(K)\to \mathrm{Pin}(V,Q;K)\to \mathrm{O}(V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times }{)}^2\to {\mathrm{H}}^1(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K);\mathrm{Pin}(V,Q;-))\to {\mathrm{H}}^1(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K);\mathrm{O}(V,Q;-))\to {\mathrm{H}}^2(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K);{\mu }_2(-))$

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

${\mathrm{H}}^0(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K);\mathrm{Pin}(V,Q;-))=\mathrm{Pin}(V,Q;K)$

등은 단순히 $K$ 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

${\mathrm{H}}^1(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K);{\mu }_2(-))\cong K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$

는 제곱 유군이며, 연결 사상 $\mathrm{O}(V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$는 스피너 노름이 된다.

같이 보기

• 클리퍼드 대수

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom