쿠쟁 문제

틀:위키데이터 속성 추적 복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 틀:Llang)는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의

복소다양체 $M$ 및 열린 덮개 $\{U_i\}$ 및 유리형 함수 $f_i:U_i\to \widehat{ℂ}$가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제

모든 $i,j$에 대하여, 만약 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$이라면 $f_i{|}_{U_i\cap U_j}-f_j{|}_{U_i\cap U_j}$가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f:M\to \widehat{ℂ}$가 존재하는지에 대한 문제이다.

• 모든 $i$에 대하여, $f{|}_{U_i}-f_i$는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. $𝒦$가 $M$ 위의 유리형 함수의 층이며, $𝒪$가 $M$ 위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 $𝒦/𝒪$를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

${\mathrm{\Gamma }}_M(𝒦)\stackrel{\varphi }{\to }{\mathrm{\Gamma }}_M(𝒦/𝒪)$

가 존재한다. 여기서 ${\mathrm{\Gamma }}_M$은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

$\{f_i{\}}_{i\in I}$는 $𝒦/𝒪$의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f$가 존재한다면, 이는 $\{f_i{\}}_{i\in I}$가 사상 $\varphi$의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 $\varphi$가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, ${\mathrm{\Gamma }}_M(-)$은 0차 층 코호몰로지 $H^0(M;-)$과 같으므로,

$H^0(M;𝒦)\stackrel{\varphi }{\to }{H}^0(M;𝒦/𝐎)\to H^1(M;𝒪)\to \cdots$

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 $H^1(M;𝒪)$가 자명군이라면 $\varphi$는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 $M$이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제

모든 $i,j$에 대하여, 만약 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$이라면 $(f_i{|}_{U_i\cap U_j})/(f_j{|}_{U_i\cap U_j})$가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f:M\to \widehat{ℂ}$가 존재하는지에 대한 문제이다.

• 모든 $i$에 대하여, $f{|}_{U_i}/f_i$는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

${𝒪}^{*}$가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, ${𝒦}^{*}$가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${𝒦}^{*}/{𝒪}^{*}$ 및 사상

${\mathrm{\Gamma }}_M({𝒦}^{*})\stackrel{\varphi }{\to }{\mathrm{\Gamma }}_M({𝒦}^{*}/{𝒪}^{*})$

를 정의할 수 있다. 이 경우 $\{f_i{\}}_{i\in I}$는 ${𝒦}^{*}/{𝒪}^{*}$의 대역적 단면을 정의하며, $f$는 ${𝒦}^{*}$의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $\varphi$가 전사 사상인지 여부와 동치이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면

$H^0(M;{𝒦}^{*})\stackrel{\varphi }{\to }{H}^0(M;{𝒦}^{*}/{𝒪}^{*})\to H^1(M;{𝒪}^{*})$

이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $H^1(M;{𝒪}^{*})=0$인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열

$0\to \underset{\_}{2\pi i\mathbb{Z}}\to 𝒪\stackrel{\exp }{\to }{𝒪}^{*}\to 0$

이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다.

$H^1(M;𝒪)\to H^1(M;{𝒪}^{*})\to 2\pi i{H}^2(M;\mathbb{Z})\to H^2(M;𝒪)\to \cdots$

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여 $H^1(M;𝒪)\cong H^2(M;𝒪)\cong 0$이다. 따라서

$0\to H^1(M;{𝒪}^{*})\to 2\pi i{H}^2(M;\mathbb{Z})\to 0$

이므로, $H^1(M;{𝒪}^{*})\cong 2\pi i{H}^2(M;\mathbb{Z})$이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 $H^2(M;\mathbb{Z})\cong 0$이다.

역사

프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁(틀:Llang)이 1895년에 제시하였다.

외부 링크

• 틀:Eom

같이 보기

• 카르탕 정리
• 미타그레플레르 정리
• 바이어슈트라스의 곱 정리
• 지수열