미타그레플레르 정리

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 미타그레플레르 정리(-定理, 틀:Llang)는 유리형 함수에 관한 정리이다. 스웨덴의 수학자 예스타 미타그레플레르가 제시하였다. 바이어슈트라스의 곱 정리와 밀접한 관련이 있다.

공식화

미타그레플레르 정리는 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $\{b_n\}$이 무한대로 발산하는 임의의 수열, $\{k_n\}$이 임의의 자연수열, $\{a_i^n\}$이 n에 대한 임의 수열들이며 모든 n에 대해 $a_{k_n}^n$이 0이 아니라 하자.
• 그러면, 각 $\{b_n\}$이 위수가 $\{k_n\}$인 극점이 되고 $\{b_n\}$의 제거된 근방에서 로랑 급수의 주부분이 $p_n(\frac{1}{z-b_n})=\frac{a_1^n}{z-b_n}+\frac{a_2^n}{(z-b_n{)}^2}+...+\frac{a_{k_n}^n}{(z-b_n{)}^{k_n}}$인 유리형 함수가 존재한다.

복소다양체에서의 미타그레플레르 정리

$M$이 복소다양체라고 하자. 그 위에 $𝒪$가 정칙 함수의 층이며, $𝒦$가 유리형 함수의 층이라고 하자. 그렇다면, 층의 짧은 완전열

$0\to 𝒪\to 𝒦\to 𝒦/𝒪\to 0$

이 존재한다. 이로부터, 층 코호몰로지의 긴 완전열

$0\to H^0(M;𝒪)\to H^0(M;𝒦)\to H^0(M;𝒦/𝒪)\to H^1(M;𝒪)\to \cdots$

이 존재한다. 미타그레플레르 정리는 $H^0(M;𝒦)\to H^0(M;𝒦/𝒪)$가 어떤 경우에 전사 함수인지를 나타내는 정리다. 이는 $H^1(M;𝒪)=0$인 경우에만 가능한 것을 알 수 있다. 특히, $M$이 슈타인 다양체일 경우 카르탕 정리에 따라서 $H^1(M;𝒪)=0$이므로, 항상 미타그레플레르 정리가 성립한다.

같이 보기

• 바이어슈트라스의 곱 정리
• 리만-로흐 정리
• 쿠쟁 문제

참고 문헌

• 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, 틀:ISBN