바이어슈트라스의 곱 정리

틀:위키데이터 속성 추적 바이어슈트라스의 곱 정리(Weierstrass product theorem) 혹은 바이어슈트라스 분해정리(Weierstrass factorization theorem)란 해석학의 정리로서, 19세기에 복소해석학이 이룬 괄목할 만한 성과 중 하나로 간주된다. 카를 바이어슈트라스(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)가 제출한 이 정리는 다음과 같이 표현된다:

(존재성) 극점이 존재하지 않는 복소수 수열이 주어지면, 이 점들만 영점으로 가지는 전해석함수가 최소 하나 존재한다.
(부분적 경우의 구성) 주어진 0이 아닌 수열 $(a_{n})$ 에 대하여, 하나의 전해석함수는 다음과 같다.

f (z) = \prod_{n = 1}^{\infty} e^{P_{n} (z)} (1 - \frac{z}{a_{n}})

(for P_{n} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} {(\frac{z}{a_{n}})}^{k})

증명

간단한 형태의 구성 방법 증명만 다룬다. 좀 더 포괄적인 존재성에 관한 증명은 여기에서는 생략한다.

구성

$| z | \leq R < 2 R \leq | a_{n} |$ 이면 $P_{n} (z)$ 는,

| P_{n} (z) + \log (1 - \frac{z}{a_{n}}) | \leq 2 {| \frac{z}{a_{n}} |}^{n + 1} \leq \frac{1}{2^{n}}

을 만족한다.

다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 $2 R \leq | a_{M} |$ 이면,

\sum_{n = M}^{\infty} | P_{n} (z) + \log (1 - \frac{z}{a_{n}}) | \leq \sum_{n = M}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} < 1

이다.

그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, $f (z) = \prod_{n = 1}^{\infty} e^{P_{n} (z)} (1 - \frac{z}{a_{n}})$ 는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 그런데 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, 이 조건에서 $f$ 는 그 폐집합 $D$ 에서 정칙이다. 따라서 $f (z)$ 는 $(a_{n})$ 의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

일반화

미타그레플레르 정리를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.

정리 : $(a_{n})$ 을 $\infty$ 로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 $(b_{n})$ 은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f (a_{n}) = b_{n}$ 을 만족하는 전해석함수 $f$ 가 적어도 하나 존재한다.

참고 문헌

고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007

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