초등각 장론

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서 초등각 장론(超等角場論, 틀:Llang, 약자 SCFT)은 등각 대칭과 초대칭을 동시에 갖는 양자장론이다.

4차원 초등각 장론

4차원 초등각 장론은 4차원 초등각 대칭을 따르는 양자장론이며, 4차원 초대칭 양자장론의 재규격화군흐름의 적외선 극한으로 얻어진다.

4차원 초등각 대수

4차원에서, 초전하의 수가 $4𝒩$개인 초등각 대수는 $\mathrm{PSU}(2,2|𝒩)$이다. 그 보손 성분은

$\mathrm{PSU}(2,2)\times \mathrm{U}(𝒩)$

이다. 다만, $𝒩=4$일 경우 U(1) R대칭이 깨져,

$\mathrm{PSU}(2,2)\times \mathrm{SU}(4)$

가 된다.

4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다.

생성원	기호	$\mathrm{\Delta }$	$\mathrm{U}(𝒩)$ R대칭 표현	로런츠 표현	에르미트 수반
운동량	$P_{\mu }$	+1	1	(½,½)	$(P_{\mu }{)}^{†}=K^{\mu }$
왼손 초전하	$Q_{\alpha }^i$	+½	$𝒩$	(½,0)	$(Q_{\alpha }^i{)}^{†}=S_i^{\alpha }$
오른손 초전하	${\overline{Q}}^{\dot{\alpha }i}$	+½	$\overline{𝒩}$	(0,½)	$({\overline{Q}}_i^{\dot{\alpha }}{)}^{†}={\overline{S}}_{\dot{\alpha }}^i$
확대	$D$	0	1	(0,0)	$D^{†}=-D$
각운동량	$J_{\mu \nu }$	0	1	(1,0) ⊕ (0,1)	$(J_{\mu \nu }{)}^{†}=J^{\mu \nu }$
R대칭	$R^i{}_j$	0	$𝔲(𝒩)$	(0,0)	$(R^i{}_j{)}^{†}=R_j{}^i$
왼손 특수 초전하	$S_i^{\alpha }$	−½	$\overline{𝒩}$	(½,0)	$(S_i^{\alpha }{)}^{†}=Q_{\alpha }^i$
오른손 특수 초전하	${\overline{S}}^{\dot{\alpha }i}$	−½	$𝒩$	(0,½)	$({\overline{S}}_{\dot{\alpha }}^i{)}^{†}={\overline{Q}}_i^{\dot{\alpha }}$
특수 등각 변환	$K_{\mu }$	−1	1	(½,½)	$(K^{\mu }{)}^{†}=P_{\mu }$

$J_{\mu \nu }$, $P_{\mu }$, $K^{\mu }$, $D$ 사이의 리 괄호는 등각 대칭과 같으며. 나머지 리 괄호들은 다음과 같다.

$\{Q_{\alpha }^i,{\overline{Q}}_{\dot{\beta }j}\}=2{\delta }_j^i{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{P}_{\mu }$

$\{{\overline{S}}_i^{\dot{\alpha }},S^{\beta j}\}=2{\delta }_i^j{\overline{\sigma }}^{\mu \dot{\alpha }\dot{\beta }}{K}_{\mu }$

$\{Q_{\alpha }^i,S_j^{\beta }\}={\delta }_j^i({\sigma }^{\mu }{\overline{\sigma }}^{\nu }{)}_{\alpha }{}^{\beta }{J}_{\mu \nu }+{\delta }_{\alpha }^{\beta }(\frac{3}{2}{R}_j^i+{\delta }_j^{i}D)$

$\{{\overline{Q}}_{\dot{\alpha }i},{\overline{S}}^{\dot{\beta }i}\}={\delta }_i^j({\overline{\sigma }}^{\mu }{\sigma }^{\nu }{)}^{\dot{\alpha }}{}_{\dot{\beta }}{J}_{\mu \nu }+{\delta }_{\dot{\alpha }}^{\dot{\beta }}(\frac{3}{2}{R}_j^i-{\delta }_j^{i}D)$

$[K^{\mu },Q_{\alpha }^i]=i{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{\overline{S}}^{\dot{\beta }i}$

$[K^{\mu },{\overline{Q}}_{\dot{\alpha }}^i]=i{\overline{\sigma }}^{\mu \dot{\alpha }\beta }{S}_{\beta }^i$

$[P^{\mu },S_{\alpha i}]=i{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{\overline{Q}}^{\dot{\beta }i}$

$[P^{\mu },{\overline{S}}^{\dot{\alpha }i}]=i{\overline{\sigma }}^{\mu \dot{\alpha }\beta }{Q}_{\beta }^i$

$[P,Q]=[P,\overline{Q}]=[K,S]=[K,\overline{S}]=\{Q,Q\}=\{\overline{Q},\overline{Q}\}=\{Q,\overline{S}\}=\{\overline{Q},S\}=\{S,S\}=\{\overline{S},\overline{S}\}=0$

여기서

$P_{\alpha \dot{\beta }}={\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{P}_{\mu }$

$K_{\alpha \dot{\beta }}={\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{K}_{\mu }$

이다.

표현

4차원 초등각 장론에서의 1차 등각장은 R대칭 표현과 등각 무게 $\mathrm{\Delta }$ 및 로런츠 표현에 의하여 결정된다. 유니터리 초등각 장론의 경우 이 값들에 대하여 유니터리 하한(틀:Llang)이라는 부등식들이 존재한다.

3차원 초등각 장론

3차원 초등각 대수는 $𝔬𝔰𝔭(𝒩|4)$이며, 그 보손 부분군은

$\mathrm{SO}(𝒩)\times \mathrm{Sp}(4,ℝ)\cong \mathrm{SO}(𝒩)\times {\mathrm{Spin}}^{+}(3,2)$

이다. 즉, R대칭군은 $\mathrm{SO}(𝒩)$이다.

2차원 초등각 장론

틀:본문 틀:본문 2차원 초등각 대수는 비라소로 대수를 포함하므로 무한 차원의 리 초대수이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다.

성질

4차원 $𝒩=1$ 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 $a$-최대화(틀:Llang)라는 방법으로 계산할 수 있다. 즉, 이들 값들은 항상 대수적 수이다.

예

$𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 4차원 $𝒩=4$ 초등각 장론이며, 이는 D3-막의 세계부피 이론이다. 6차원 (2,0) 초등각 장론을 리만 곡면에 축소화하면, 𝒮류 이론(틀:Llang)이라는 $𝒩=2$ 초등각 장론들을 얻는다. 4차원 $𝒩=1$ 초등각 장론에 대하여서는 자이베르그 이중성이라는 이중성이 존재한다.

3차원에서는 베스-추미노 모형이 재규격화군 흐름의 고정점을 만나, 초등각 장론을 이룬다. 그러나 4차원에서는 베스-추미노 모형의 적외선 극한은 자유 이론이다.

6차원에서는 6차원 (2,0) 초등각 장론이 존재한다. 이는 M5-막의 세계부피 이론이다.

같이 보기

• 등각 대칭
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 초대칭 대수

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용