체흐 신경

원 ${𝕊}^1$은 세 개의 원소를 갖는 열린 덮개를 갖는다. 각 열린집합은 체흐 신경의 꼭짓점(0차 단체)에 대응하며, 두 열린집합의 교집합은 체흐 신경의 변(1차 단체)에 대응한다. 이 예에서 세 개의 열린집합의 교집합(즉, 2차 단체)은 존재하지 않는다.

범주론과 대수적 위상수학에서 체흐 신경(Čech神經, 틀:Llang)은 (충분한 올곱을 갖는) 범주에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 단체 대상이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. 체흐 코호몰로지를 구성하는 데 사용된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 $𝒞$
• $𝒞$ 속의 사상 $f:U\to X$

그렇다면, (만약 모든 올곱들이 존재한다면) 다음과 같은 단체 대상

$\check{\mathrm{C}}(f):{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to 𝒞$

을 정의할 수 있다.

• 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여,

  $\check{\mathrm{C}}(f{)}_n=U^{{\times }_X(n+1)}=\stackrel{n+1}{\overbrace{U{\times }_{X}U{\times }_X\cdots {\times }_{X}U}}$

• 면 사상은 다음과 같다. (즉, $i$번째 성분만을 제외한, 올곱의 표준적 사영 사상이다.)

  $\underset{i}{\overset{n}{\partial }}:U^{{\times }_X(n+1)}\to U^{{\times }_{X}n}(0\le i\le n)$

  $\underset{i}{\overset{n}{\partial }}={\mathrm{proj}}_{0,1,2,\dots ,\hat{ı},\dots ,n}=\underset{i}{\underbrace{{\mathrm{id}}_U{\times }_X\cdots {\times }_X{\mathrm{id}}_U}}{\times }_{X}f{\times }_X\underset{n-i}{\underbrace{{\mathrm{id}}_U{\times }_X\cdots {\times }_X{\mathrm{id}}_U}}$

• 퇴화 단체 사상은 다음과 같다.

  $s_i^n:U^{{\times }_X(n+1)}\to U^{{\times }_X(n+2)}(0\le i\le n)$

  $s^n=\underset{i}{\underbrace{{\mathrm{id}}_U{\times }_X\cdots {\times }_X{\mathrm{id}}_U}}{\times }_X{\mathrm{diag}}_U{\times }_X\underset{n-i}{\underbrace{{\mathrm{id}}_U{\times }_X\cdots {\times }_X{\mathrm{id}}_U}}$

이를 $U\to X$의 체흐 신경이라고 한다.

예

열린 덮개

매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 $\mathrm{Diff}$에서, 매끄러운 다양체 $M$의 열린 덮개 $𝒰=\{U_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. (대신 위상 공간의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면,

$\tilde{X}=\underset{i\in I}{⨆}{U}_i$

를 정의하면, 표준적인 사영 사상

$f:\tilde{X}\to X$

이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로

• 0차 단체는 $x\in U_i$인 순서쌍 $(x,i)$이다. 0차 단체의 공간은 $\tilde{X}=\underset{i\in I}{⨆}{U}_i$이다.
• 1차 단체는 $x\in U_i\cap U_j$인 순서쌍 $(x,i,j)$이다. 2차 단체의 공간은 $\tilde{X}{\times }_X\tilde{X}=\underset{i,j\in I}{⨆}{U}_i\cap U_j$이다.
  • 1차 단체 $(x,i,j)$의 두 면(끝점)은 $\underset{0}{\overset{1}{\partial }}(x,i,j)=(x,j)$ 및 $\underset{1}{\overset{1}{\partial }}(x,i,j)=(x,i)$이다.
  • 0차 단체 $(x,i)$에 대응하는 퇴화 1차 단체는 $s_0^0(x,i)=(x,i,i)$이다.
• 2차 단체는 $x\in U_i\cap U_j\cap U_k$인 순서쌍 $(x,i,j,k)$이다. 2차 단체의 공간은 $\tilde{X}{\times }_X\tilde{X}{\times }_X\tilde{X}=\underset{i,j,k\in I}{⨆}{U}_i\cap U_j\cap U_k$이다.
  • 2차 단체 $(x,i,j,k)$의 세 면(변)은 $\underset{0}{\overset{2}{\partial }}(x,i,j,k)=(x,j,k)$, $\underset{1}{\overset{2}{\partial }}(x,i,j,k)=(x,i,k)$, $\underset{2}{\overset{2}{\partial }}(x,i,j,k)=(x,i,j)$이다.
  • 1차 단체 $(x,i,j)$에 대응하는 퇴화 2차 단체는 $s_0^1(x,i,j)=(x,i,i,j)$, $s_1^1(x,i,j)=(x,i,j,j)$이다.

체흐 코호몰로지는 이 단체 대상에 대한 코호몰로지 이론이다.

분류 공간

틀:본문 위상군 $G$가 주어졌다고 하자. 이제, 자명군으로 가는 (유일한) 군 준동형

$G\to 1$

을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다.

• 0차 단체는 $g\in G$이다. 0차 단체의 공간은 $G$이다.
• 1차 단체는 $(g,h)\in G^2$이다. 1차 단체의 공간은 $G^2$이다.
  • 0차 단체의 퇴화 단체는 $(g,g)$의 꼴이다.
  • 1차 단체의 면은 $\underset{0}{\overset{1}{\partial }}(g,h)=h$, $\underset{1}{\overset{1}{\partial }}(g,h)=g$이다.
• 2차 단체는 $(g,h,k)\in G^3$이다. 2차 단체의 공간은 $G^3$이다.

이와 같이, 단체군 $\mathrm{E}G$를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 $G$의 오른쪽 군 작용이 존재한다.

$g:(h_0,h_1,h_2,\dots ,h_n)\mapsto (h_{0}g,h_{1}g,h_{2}g,\dots ,h_{n}g)$

이 오른쪽 군 작용은 추이적 작용이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 $G$-주다발

$G\hookrightarrow \mathrm{E}G\twoheadrightarrow \mathrm{B}G=\frac{\mathrm{E}G}{G}$

을 이룬다. 이는 위상군 $G$의 분류 공간이며, 만약 $G$가 이산군이라면 에일렌베르크-매클레인 공간 $\mathrm{K}(G,1)$을 이룬다.

역사

이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 에두아르트 체흐가 도입하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• Samuel Eilenberg and Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, p. 234.

외부 링크

• 틀:Nlab
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