체비쇼프 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 틀:Llang)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

정의

(실수 $n$차 일계수 다항식의 집합을 $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{n}(n;ℝ)$로 적자.)

실수 $n$차 다항식 ${\mathrm{T}}_n\in ℝ[x]$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\mathrm{T}}_n$을 $n$차 체비쇼프 다항식이라고 한다.

• (재귀적 정의) ${\mathrm{T}}_n(x)=2x{\mathrm{T}}_{n-1}(x)-{\mathrm{T}}_{n-2}(x)$이며, ${\mathrm{T}}_0(x)=1$이며, ${\mathrm{T}}_1(x)=x$이다.
• (삼각 함수 정의) 항등식 ${\mathrm{T}}_n(\cos \theta )=\cos n\theta$가 성립한다.
• ${\mathrm{T}}_n$은 $(-1,1)$에서 서로 다른 $n$개 실근을 가지며, $[-1,1]$에서 절댓값이 서로 같은 $n+1$개 극값을 갖는다.
• (최소 상한 노름)$\frac{1}{2^{n-1}}\underset{x\in [-1,1]}{\max }|{\mathrm{T}}_n(x)|=\underset{f\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{n}(n;ℝ)}{\min }\underset{x\in [-1,1]}{\max }|f(x)|$

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 $\cos nx$가 $\cos x$의 $n$차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 $\cos nx$, 우변의 실수부는, $\cos x$와 ${\sin }^{2}x$의 다항식이다.

성질

직교성

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 $[-1,1]$에서 직교한다.

$\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$

즉, 다음이 성립한다.

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{T}}_n(x){\mathrm{T}}_m(x)\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=0(n\ne m)$

대칭

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

${\mathrm{T}}_n(-x)=(-1{)}^n{\mathrm{T}}_n(x)$

근

$n$차 체비쇼프 다항식 ${\mathrm{T}}_n$은 닫힌구간 $[-1,1]$ 속에서 $n$개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

$x_k=\cos \frac{(2k-1)\pi }{2n}(k\in \{1,2,\dots ,n\})$

분지점

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

${\mathrm{T}}_n:{ℂ\mathbb{P}}^1\to {ℂ\mathbb{P}}^1$

로 여길 때, $n>0$의 경우 다음이 성립한다.

• 분지점에서의 값들은 모두 $\pm 1$ 또는 $\hat{\mathrm{\infty }}$이다.
• 값이 $\pm 1$인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
• $\hat{\mathrm{\infty }}$의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)

예를 들어,

${\mathrm{T}}_2(x)=2x^2-1=2(x-1)(x+1)+1$

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 $x\in \{0,\hat{\mathrm{\infty }}\}$를 가지며, 그 값은 ${\mathrm{T}}_2(0)=-1$ 및 ${\mathrm{T}}_2(\hat{\mathrm{\infty }})=\hat{\mathrm{\infty }}$이다. 마찬가지로,

${\mathrm{T}}_3(x)=4x^3-3x=(x-1)(2x+1{)}^2+1=(x+1)(2x-1{)}^2-1$

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 $x\in \{-1/2,1/2\}$ 및 분지 지표 3의 분지점 $x=\hat{\mathrm{\infty }}$를 가지며, 그 값은 각각 ${\mathrm{T}}_3(\pm 1/2)=\mp 1$ 및 ${\mathrm{T}}_3(\hat{\mathrm{\infty }})=\hat{\mathrm{\infty }}$이다.

이에 따라, ${\mathrm{T}}_n:{ℂ\mathbb{P}}^1\to {ℂ\mathbb{P}}^1$는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 $n+1$개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.

예

낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. 틀:OEIS

$\begin{array}{cc}{\mathrm{T}}_0(x)& =1\\ {\mathrm{T}}_1(x)& =x\\ {\mathrm{T}}_2(x)& =2x^2-1\\ {\mathrm{T}}_3(x)& =4x^3-3x\\ {\mathrm{T}}_4(x)& =8x^4-8x^2+1\\ {\mathrm{T}}_5(x)& =16x^5-20x^3+5x\\ {\mathrm{T}}_6(x)& =32x^6-48x^4+18x^2-1\\ {\mathrm{T}}_7(x)& =64x^7-112x^5+56x^3-7x\\ {\mathrm{T}}_8(x)& =128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\\ {\mathrm{T}}_9(x)& =256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x\\ {\mathrm{T}}_{10}(x)& =512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1\\ {\mathrm{T}}_{11}(x)& =1024x^{11}-2816x^9+2816x^7-1232x^5+220x^3-11x\end{array}$

역사

파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T_n는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (틀:Llang) 또는 독일어 표기 (틀:Llang)에서 딴 것이다.

같이 보기

• 르장드르 다항식
• 라게르 다항식
• 에르미트 다항식

외부 링크

• 틀:위키공용분류-줄
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:수학노트
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용