드무아브르의 공식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 드무아브르의 공식(틀:Llang) 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 i는 허수 단위를 뜻한다.

${(\cos x+i\sin x)}^n=\cos nx+i\sin nx$

이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다.

$x$가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 $\cos x,\sin x$만을 사용하여 $\cos nx$와 $\sin nx$을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, $z^n=1$의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.

유도

역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}$

그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

$e^{i(nx)}=\cos nx+i\sin nx$

수학적 귀납법을 이용한 증명

세 가지 경우로 나누어 생각한다.

$n>0$인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. $n=1$일 때, 이 등식은 참이다. 이제 $k$일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos kx+i\sin kx$

이제 $n=k+1$일 때 식이 성립하는지를 확인하면,

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =(\cos kx+i\sin kx)(\cos x+i\sin x)\\ & =\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x)\\ & =\cos (k+1)x+i\sin (k+1)x\end{array}$

이 식이 $n=k+1$일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 $n\ge 1$인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

이제 $n=0$일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, $\cos 0x+i\sin 0x=1+i\cdot 0=1$ 또는 $z^0=1$라는 약속에 의하여 성립한다.

이제 $n<0$일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 $n=-m$을 만족하는 양의 정수 $m$에 대하여 생각하여 보면,

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+i\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+i\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}\\ & =\cos mx-i\sin mx\\ & =\cos (-mx)+i\sin (-mx)\\ & =\cos nx+i\sin nx\end{array}$

이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.

코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법

복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다.
만약 $\cos x$와 $\sin x$가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$\begin{array}{cccc}\cos nx& =\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i})(-1{)}^i(\cos x{)}^{n-2i}(\sin x{)}^{2i}& & =\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i})(\cos x{)}^{n-2i}((\cos x{)}^2-1{)}^i\\ \sin nx& =\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i+1})(-1{)}^i(\cos x{)}^{n-2i-1}(\sin x{)}^{2i+1}& & =(\sin x)\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i+1})(\cos x{)}^{n-2i-1}((\cos x{)}^2-1{)}^i\\ \end{array}$

이 식은 $x$가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 $n=2,3$을 대입해보면,

$\begin{array}{cccc}\cos 2x& =(\cos x{)}^2+((\cos x{)}^2-1)& & =2(\cos x{)}^2-1\\ \sin 2x& =2\sin x\cos x\\ \cos 3x& =(\cos x{)}^3+3\cos x((\cos x{)}^2-1)& & =4(\cos x{)}^3-3\cos x\\ \sin 3x& =3(\cos x{)}^2\sin x-(\sin x{)}^3& & =3\sin x-4(\sin x{)}^3\\ \end{array}$

$\cos nx$에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 $T_n(\cos x)$의 값이다.

정수 지수가 아닐 때의 문제, 일반화

드무아브르의 공식은 정수지수가 아닐 때는 성립하지 않는다. 드무아브르의 공식을 유도할 때 복소수의 n제곱이 사용되며, 만약 n이 정수가 아니라면 복소지수가 다가함수이기 때문에 좌변이 잘 정의되지 않는다.

복소수 지수의 확장

이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. $z$와 $w$가 복소수라면, $\cos (wz)+i\sin (wz)$와는 달리

${(\cos z+i\sin z)}^w$

는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서

$\cos (wz)+i\sin (wz)$

는 ${(\cos z+i\sin z)}^w$의 여러 값중 하나일 뿐이다.

복소평면위에 찍은 $x^3-1=0$의 근.

활용

이 공식은 $x^n-1=0$의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 $w$가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$w=r(\cos x+i\sin x),$

이 때 $k$가 정수라면,

$w^{{}^{\frac{1}{n}}}={\left[r(\cos x+i\sin x)\right]}^{{}^{\frac{1}{n}}}=r^{{}^{\frac{1}{n}}}[\cos \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)]$

$n$개의 서로 다른 근을 구할 때, $k=0$부터 $n-1$까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.

또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인, $x^n=a$의 꼴로, 이항방정식 이되겠다.

역사

아브라암 드무아브르가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.

같이 보기

• 오일러 공식
• 1의 거듭제곱근
• 이항 방정식

참고 문헌

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. 틀:ISBN. (p. 74).

외부 링크

• 틀:수학노트