아이젠슈타인 정수

수론에서 아이젠슈타인 정수(틀:Llang)는 아래의 꼴로 표현될 수 있는 복소수를 말한다. 독일의 수학자 고트홀트 아이젠슈타인의 이름이 붙어 있다.

z = a + b ω (a, b \in ℤ)

여기서 $ω$ 는 1의 세제곱근이다.

ω = \frac{1}{2} (- 1 + i \sqrt{3}) = e^{2 π i / 3}

성질

아이젠슈타인 정수는 원분체 $ℚ [ω]$ 의 대수적 정수환이며, 유클리드 정역을 이룬다. 그 가역원군은 6개의 원소를 가지는 순환군이며, 다음과 같다.

{\pm 1, \pm ω, \pm ω^{2}}

아이젠슈타인 정수들은 유클리드 정역이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이에 따른 소수들을 아이젠슈타인 소수(틀:Llang)라고 한다. 이들은 다음과 같다. (편의상, 통상적인, 즉 $ℤ$ 에서의 소수를 유리소수라고 하자.)

아이젠슈타인 정수 $z = a + b ω$ 가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음과 같다.

$z$ 는 가역원과 $p \equiv 2 (\mod 3)$ 인 유리소수 $p$ 의 곱과 같거나,
아니면 $| z |^{2} = a^{2} - a b + b^{2}$ 는 유리소수이다. (이 경우 항상 $| z |^{2} \equiv 0, 1 (\mod 3)$ 이다.)

따라서, 아이젠슈타인 소수의 목록은 다음과 같다.

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, … 틀:OEIS

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω, …

유리소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들은 다음과 같다.

3 = −(1 + 2ω)², 7 = (3 + ω)(2 − ω), … 틀:OEIS