베주 정역

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틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 베주 정역(Bézout整域, 틀:Llang)은 베주 항등식을 만족시키는 정역이다.

정의

환 $R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 베주 환(틀:Llang)이라고 한다.

모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 주 아이디얼이다.
두 주 왼쪽 아이디얼의 합이 주 왼쪽 아이디얼이다. 즉, 임의의 두 원소 $r, s \in R$ 에 대하여, $R r + R s = R t$ 가 되는 $t \in R$ 가 존재한다.

마찬가지로, 오른쪽 베주 환(틀:Llang)을 정의할 수 있다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

정역 $D$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 베주 정역이라고 한다.

왼쪽 베주 환이다.
오른쪽 베주 환이다.
(베주 항등식) 임의의 $a, b \in D$ 에 대하여, 최대공약수 $\gcd {a, b} \in D$ 가 존재하며, 또한 $\gcd {a, b} = a c + b d$ 인 $c, d \in D$ 가 존재한다.
모든 소 아이디얼 $𝔭$ 에 대하여, 국소화 $D_{𝔭}$ 가 값매김환이다.
모든 극대 아이디얼 $𝔪$ 에 대하여, 국소화 $D_{𝔪}$ 이 값매김환이다.

성질

베주 정역은 최대공약수 정역(틀:Llang)이자 프뤼퍼 정역(틀:Llang)이다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

주 아이디얼 정역이다.
베주 정역이며 유일 인수 분해 정역이다.
베주 정역이며 뇌터 환이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

베주 정역이자 국소환이다.
값매김환이다.

가군

오른쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 왼쪽 가군의 개념은 평탄 왼쪽 가군과 일치한다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp (여기서, 꼬임 없는 왼쪽 가군 $_{R} M$ 은 임의의 $r \in R$ 에 대하여 ${Tor}_{R}^{1} (R / r R, M) = 0$ 인 것이다.) 반대로, 왼쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 오른쪽 가군의 개념은 평탄 오른쪽 가군과 일치한다.

예

모든 대수적 정수의 정역은 베주 정역이지만, 뇌터 환이 아니며 유일 인수 분해 정역도 아니다.

각주

외부 링크

틀:전거 통제

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환론