아이젠슈타인 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 아이젠슈타인 판정법(-判定法, 틀:Llang)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다.

정의

유일 인수 분해 정역 $R$에서 계수를 취하는 $n\ge 1$차 다항식

$f(x)=r_n{x}^n+r_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +r_0\in R[x]$

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 $p\in R$가 존재한다고 하자.

$p\nmid r_n$

$p\mid r_0,\dots ,r_{n-1}$

$p^2\nmid r_0$

아이젠슈타인 판정법에 따르면, $f(x)$는 분수체 $\mathrm{Frac}R$의 다항식환 $(\mathrm{Frac}R)[x]$ 속에서 기약 다항식이다. 즉, $f(x)$는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 $f(x)$가 원시 다항식이라면, $f(x)$는 $R[x]$에서 기약 다항식이다.틀:Rp틀:Rp

보다 일반적으로, 정역 $R$에서 계수를 취하는 $n\ge 1$차 다항식

$f(x)=r_n{x}^n+r_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +r_0\in R[x]$

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 $𝔭⊊R$가 존재한다고 하자.

$r_n\in ̸𝔭$

$r_0,\dots ,r_{n-1}\in 𝔭$

$r_0\in ̸\{rs:r,s\in 𝔭\}$

그렇다면, $f(x)$는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 $f(x)$의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, $f(x)$는 $R[x]$에서 기약 다항식이다.틀:Rp

증명

귀류법을 사용하여, $f(x)$가 $(\mathrm{Frac}R)[x]$의 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면, $f(x)=g(x)h(x)$인 $d,e\ge 1$차 다항식

$g(x)=s_d{x}^d+s_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +s_0\in R[x]$

$h(x)=t_e{x}^e+t_{e-1}{x}^{e-1}+\cdots +t_0\in R[x]$

가 존재한다.

$p\mid r_0=s_0{t}_0$

이며, $p$는 소원이므로, $p\mid s_0$이거나 $p\mid t_0$이다. 편의상 $p\mid s_0$이라고 하자. 그렇다면 $p^2\nmid r_0$이므로 $p\nmid t_0$이다. 이제,

$p\nmid r_n=s_d{t}_e$

이므로 $p\nmid s_d$이며,

$p\mid s_0,\dots ,s_{k-1}$

$p\nmid s_k$

인 $1\le k\le d$를 고를 수 있다. 따라서

$p\nmid s_0{t}_k+s_1{t}_{k-1}+\cdots +s_{k-1}{t}_1+s_k{t}_0=r_k$

이며, $k\le d<d+e=n$이므로 이는 모순이다.

예

아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 $x^4+2\in \mathbb{Z}[x]$는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 $a\ge 2$에 대하여, $x^n\pm a\in \mathbb{Z}[x]$는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 $\mathbb{Q}$의 다항식환 $\mathbb{Q}[x]$는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 $a\ge 2$의 거듭제곱근 $\sqrt[n]{a}$ ($n\ge 2$)는 항상 무리수이다.

소수 번째 원분 다항식

소수 $p$에 대하여,

$f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1=\frac{x^p-1}{x-1}\in \mathbb{Q}[x]$

의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 $f(x)$의 기약성은

$f(x+1)=\frac{(x+1{)}^p-1}{x}=\sum _{i=1}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})x^{i-1}\in \mathbb{Q}[x]$

의 기약성과 동치이며,

$p\mid \frac{p(p-1)\cdots (p-i+1)}{i!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,p-1\}$

이므로 (이는 분모는 $p$의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 $f(x+1)\in \mathbb{Q}[x]$는 기약 다항식이다. 따라서 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 역시 기약 다항식이다. 이는 $p$번째 원분 다항식과 같다.

유리 함수체 위의 다항식

아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대 $K(t)/K$ 속 다항식

$x^n-t\in K(t)[x]$

는 기약 다항식이다. 이는 $K[t]$가 유일 인수 분해 정역이며, $t\in K[t]$가 그 기약원이기 때문이다.

같이 보기

• 콘의 기약성 기준
• 힐베르트의 기약성 정리

참고 문헌

• John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:매스월드