완비 원순서 집합

틀:위키데이터 속성 추적 순서론에서 완비 원순서 집합(틀:Llang, 약자 cpo)은 모든 사슬이 상한을 갖는 원순서 집합이다.

정의

원순서 집합 $(P, ≲)$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 $P$ 를 완비 원순서 집합이라고 한다.

모든 사슬의 상한이 존재한다.
모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.
최소 원소를 가지며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.
최소 원소를 가지며, 표준적인 매장 $↓ : P \to Ideal (P)$ 는 (얇은 작은 범주 사이의 함자로 여겼을 때) 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
임의의 순서 보존 함수 $f : P \to P$ 의 고정점 집합 ${a \in P : a \sim f (a)}$ 은 최소 원소를 갖는다.^[1]틀:Rp

⋁ : Ideal (P) \to P

⋁ ⊣ ↓

이다.

보다 일반적으로, 순서수 $α$ 가 주어졌을 때, 원순서 집합 $(P, ≲)$ 이 다음 조건을 만족시키면, $P$ 를 $α$ -완비 원순서 집합(틀:Llang)이라고 한다.

두 완비 원순서 집합 $P$ , $Q$ 사이의 함수 $f : P \to Q$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 완비 원순서 집합의 사상이라고 한다.

사슬의 상한을 보존한다. 즉, 임의의 사슬 $C \subseteq P$ 에 대하여, $f (⋁ C) = ⋁ f (C)$
최소 원소를 보존하며, 상향 집합의 상한을 보존한다. 즉, $f (⊥_{P}) = ⊥_{Q}$ 이며, 임의의 상향 집합 $D \subseteq P$ 에 대하여 $f (⋁ D) = ⋁ f (D)$ .
정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.

완비 원순서 집합의 사상은 항상 순서 보존 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

모든 완비 원순서 집합은 닫힌 원순서 집합이다. 따라서 초른 보조정리를 적용할 수 있다.

격자 $L$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

즉, 완비 원순서 집합은 완비 격자의 개념을 일반화한다.

완비 원순서 집합 $(P, ≲)$ 위의 순서 보존 함수 $f : P \to P$ 의 고정점 집합 ${a \in P : a \sim f (a)}$ 은 완비 원순서 집합이다. 이는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

완비 원순서 집합 $(P, ≲)$ 위의 순서 보존 함수들의 집합 $(f_{i} : P \to P)_{i \in I}$ 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

\forall i \in I \forall a \in P : a \leq f_{i} (a)

그렇다면, $(f_{i})_{i \in I}$ 는 최소 공통 고정점을 갖는다.^[1]틀:Rp

완비 원순서 집합과 그 사상의 범주 $Cpo$ 는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.