대칭 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 리만 기하학과 리 군론에서 대칭 공간(對稱空間, 틀:Llang)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다.

정의

대칭 공간 $G/H$는 다음 조건을 만족시키는 동차 공간이다.

$H$는 어떤 대합 $\sigma :G\to G$에 대하여, $G^{\sigma }$의 열린집합이다.

여기서

$G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma g=g\}$

는 $\sigma$에 의한 고정점들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 계수(階數, 틀:Llang)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 에르미트 다양체인 것들은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 에르미트 대칭 공간(Hermite對稱空間, 틀:Llang)이라고 한다.

$G$의 리 대수가 $𝔤$라고 하자. 대합

$\sigma :𝔤\to 𝔤$

는 ${\sigma }^2=1$이므로 고윳값 $\pm 1$을 갖는다. 이에 따라, $𝔤$는 두 부분 공간의 직합으로 나타내어지며, 고윳값이 $+1$인 부분 대수는 $H$의 리 대수 $𝔥$와 같다. 고윳값이 $-1$인 부분 대수는 $𝔪$이라고 적자.

$𝔤=𝔥\oplus 𝔪$

$[𝔥,𝔥]\subset 𝔥$

$[𝔥,𝔪]\subset 𝔪$

$[𝔪,𝔪]\subset 𝔥$

성질

함의 관계

리 군 $G$의 닫힌 부분군 $H\le G$가 주어졌으며, 이들에 대응하는 리 대수가 각각 $𝔥\subseteq 𝔤$라고 하자. 또한, 항상

$𝔤=𝔥+𝔪$

이 되는 실수 벡터 공간 $𝔪\subseteq 𝔤$를 찾을 수 있다. 이제, $𝔪$이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다.

공간	조건
동차 공간	(없음)
가약 동차 공간	$\mathrm{Ad}(H)𝔥\subseteq 𝔪$
대칭 공간	$\mathrm{Ad}(H)𝔪\subseteq 𝔪$, $[𝔪,𝔪]\subseteq 𝔥$
리만 대칭 공간	대칭 공간이며, $𝔪$ 위에 $\mathrm{Ad}(H)$-불변 내적이 존재

여기서, $\mathrm{Ad}(H)𝔪\subseteq 𝔪$인 조건은

$[𝔥,𝔪]\subseteq 𝔪$

을 함의한다. (만약 $H$의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우, $𝔪$은 $G/H$의 접공간과 동형이므로, $𝔪$ 위의 내적은 $G/H$ 위의 리만 계량을 정의한다.

분류

콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의하여 모두 분류되었다.

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체
AI	$\mathrm{SU}(n)$	$\mathrm{SO}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
AII	$\mathrm{SU}(2n)$	$\mathrm{USp}(2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
AIII	$\mathrm{SU}(p+q)$	$\mathrm{S}(\mathrm{U}(p)\times \mathrm{U}(q))$	$2pq$	$\min \{p,q\}$	켈러 다양체
BDI	$\mathrm{SO}(p+q)$	$\mathrm{SO}(p)\times \mathrm{SO}(q)$	$pq$	$\min \{p,q\}$	$q=2$인 경우는 켈러 다양체
DIII	$\mathrm{SO}(2n)$	$\mathrm{U}(n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
CI	$\mathrm{USp}(2n)$	$\mathrm{U}(n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
CII	$\mathrm{USp}(2p+2q)$	$\mathrm{USp}(2p)\times \mathrm{USp}(2q)$	$4pq$	$\min \{p,q\}$
EI	$E_6$	$\mathrm{PUSp}(8)$	42	6
EII	$E_6$	$\mathrm{SU}(6)\times \mathrm{SU}(2)$	40	4
EIII	$E_6$	$\mathrm{SO}(10)\times \mathrm{U}(1)$	32	2	켈러 다양체
EIV	$E_6$	$F_4$	26	2
EV	$E_7$	$\mathrm{SU}(8)/\{\pm I\}$	70	7
EVI	$E_7$	$\mathrm{SO}(12)\times \mathrm{SU}(2)$	64	4
EVII	$E_7$	$E_6\cdot \mathrm{U}(1)$	54	3	켈러 다양체
EVIII	$E_8$	$\mathrm{PSpin}(16)$	128	8
EIX	$E_8$	$E_7\cdot \mathrm{SU}(2)$	112	4
FI	$F_4$	$\mathrm{USp}(6)\times \mathrm{SU}(2)$	28	4
FII	$F_4$	$\mathrm{Spin}(9)$	16	1
G	$G_2$	$\mathrm{SO}(4)$	8	2

예

모든 콤팩트 반단순 리 군은 (킬링 형식에 비례하는 리만 계량을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 반단순 리 군의 경우, 마찬가지로 준리만 다양체로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다.

초구와 유클리드 공간과 쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는

${𝕊}^n=\mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$

이며, 이는 BD_I의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은

${ℝ}^n=\mathrm{ISO}(n)/\mathrm{SO}(n)$

의 꼴로 얻어지며, 쌍곡 공간은

${ℍ}^n=\mathrm{SO}(n,1)/\mathrm{SO}(n)$

의 꼴로 얻어진다.

더 시터르 공간과 반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다.

같이 보기

• 사타케 도표

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab