형식적 실체

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서 형식적 실체(形式的實體, 틀:Llang)는 순서체로 만들 수 있는 체이다.

정의

체 $K$의 수준(水準, 틀:Llang) $\mathrm{Stufe}K$은 $-1$을 제곱수들의 합으로 나타내었을 때 필요한 항들의 수의 최솟값이다. 만약 $-1$을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없는 경우, 수준은 $\mathrm{\infty }$이다.

$\mathrm{Stufe}K=\min \{|S|:\sum _{s\in S}{s}^2=-1,S\subseteq K,|S|<{\mathrm{\aleph }}_0\}\in {\mathbb{Z}}^{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

체 $K$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 형식적 실체(틀:Llang)라고 한다.

• 수준이 무한대이다. $\mathrm{Stufe}K=\mathrm{\infty }$
• 피타고라스 수가 무한대이며 (즉, 제곱수의 합이 아닌 원소가 존재하며), 표수가 2가 아니다.
• $K$의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$에 대하여, 만약 $\sum _{s\in S}{s}^2=0$이라면 $S$의 모든 원소들은 0이다.
• $K$의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$에 대하여, 만약 $\sum _{s\in S}{s}^2=0$이라면 $S$의 모든 원소들은 0이다.
• $K$는 순서체가 될 수 있다. 즉, $K$를 순서체로 만드는 전순서가 존재한다.

성질

모든 체의 수준은 항상 무한대이거나 아니면 2의 거듭제곱이다.

$\mathrm{Stufe}K\in \{\mathrm{\infty },1,2,4,8,\dots \}$

만약 $K$의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.

$\mathrm{char}K=2⟹\mathrm{Stufe}K=1$

만약 $K$의 표수가 양수라면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.

$\mathrm{char}K>0⟹\mathrm{Stufe}K\in \{1,2\}$

만약 $K$에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, $K$의 수준은 항상 1이다.

$(\mathrm{\forall }a\in K\mathrm{\exists }b\in K:b^2=a)⟹\mathrm{Stufe}K=1$

지겔 정리(틀:Llang)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.

$K$의 준위는 피타고라스 수 $\mathrm{Pyth}K$와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.

$\mathrm{Pyth}K\le \mathrm{Stufe}K+1$

형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.

$\mathrm{Stufe}K<\mathrm{\infty }⟹\mathrm{Stufe}K\le \mathrm{Pyth}K\le \mathrm{Stufe}K+1$

모든 형식적 실체는 (순서체로 만들 수 있으므로) 표수가 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실폐 $K$의 대수적 폐포 $\overline{K}$가 주어졌을 때, $K$를 포함하는 $\overline{K}$ 속의 유일한 실폐체 $K^{\mathrm{re}}$가 존재하며, 이를 $K$의 실폐포(틀:Llang)라고 한다.

예

대표적인 체의 수준은 다음과 같다.

체	수준
대수적으로 닫힌 체	1
실폐체	∞
유리수체 $\mathbb{Q}$	∞
유한체 ${𝔽}_q$, $q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$	2
유한체 ${𝔽}_q$, $q\equiv ̸3(\mathrm{mod}4)$	1
비아르키메데스 국소체 $K$, 이산 값매김환 ${𝒪}_K$의 잉여류체 ${𝔽}_{p^n}$의 표수가 홀수인 경우	$p$
2진수체 ${\mathbb{Q}}_2$	4
가우스 유리수 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$	1
이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$	2
이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$	4

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 피타고라스 체
• 실폐체