스미스 표준형

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서, 스미스 표준형(틀:Llang)은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬과 동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군과 부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다.

정의

주 아이디얼 정역 $R$ (예를 들어, 정수환 $ℤ$ 또는 체 계수 일변수 다항식환 $K [x]$ ) 위의 임의의 $m \times n$ 행렬 $A \in Mat (m, n; R)$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $P \in GL (m; R)$ 와 $Q \in GL (n; R)$ 및 유한 개의 원소 $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{r} \in R$ 가 존재한다.

P A Q = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋱ \\ d_{r} \\ 0_{(m - r) \times (n - r)} \end{matrix})

d_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \dots, r)

d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{r}

(여기서 $0_{(m - r) \times (n - r)}$ 는 $(m - r) \times (n - r)$ 영행렬이다.) 또한 $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{r}$ 은 가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를 $A$ 의 스미스 표준형이라고 한다.

알고리즘

행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다. $R$ 는 유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의 $r \in R ∖ {0}$ 에 대하여, $l (r) \in ℕ$ 이 $r$ 의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자.

우선 $R$ 위의 $2 \times 2$ 행렬

(\begin{matrix} a & b \\ c & e \end{matrix})

을 생각하자. $R$ 가 베주 정역이므로, $a$ 와 $b$ 의 최대공약수 $d$ 에 대하여, $d = u a + v b$ 인 $u, v \in R$ 가 존재한다. $a = d a^{'}$ , $b = d b^{'}$ 라고 하자. 그렇다면 $u a^{'} + v b^{'} = 1$ 이다. 따라서

(\begin{matrix} u & - b^{'} \\ v & a^{'} \end{matrix})

은 가역 행렬이며,

(\begin{matrix} a & b \\ c & e \end{matrix}) (\begin{matrix} u & - b^{'} \\ v & a^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d & 0 \\ u c + v d & - b^{'} c + a^{'} d \end{matrix})

이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이 $a$ 와 $c$ 의 최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.

이제 일반적인 $m \times n$ 행렬 $A$ 를 생각하자. 만약 $A = 0$ 이라면, $A$ 는 이미 스스로의 스미스 표준형이다. $A \neq 0$ 이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상 $A_{11} \neq 0$ 이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해 $l (A_{11})$ 가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든 $i, j = 2, \dots, n$ 에 대하여 $A_{11} ∣ A_{i j}$ 라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의 $A_{11}$ 을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약 $A_{11} ∤ A_{i j}$ 인 $i, j = 2, \dots, n$ 이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 $A_{11} ∤ A_{12}$ 이거나 $A_{11} ∤ A_{21}$ 라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약 $A_{11} ∣ A_{12}, A_{21}$ 이지만 $A_{11} ∤ A_{22}$ 라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면, $A_{11}$ 은 변하지 않으며, $A_{11}$ 이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상 $A_{11} ∤ A_{12}$ 라고 하자. 그렇다면

(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}) Q^{'} = (\begin{matrix} A'_{11} & 0 \\ A'_{21} & A'_{22} \end{matrix})

A'_{11} = \gcd {A_{11}, A_{12}}

인 가역 행렬 $Q^{'}$ 이 존재한다. 따라서

Q = (\begin{matrix} Q^{'} & 0 \\ 0 & 1_{(n - 2) \times (n - 2)} \end{matrix})

는 가역 행렬이며, 행렬 $A Q$ 의 첫 행 첫 열 성분은 $A'_{11}$ 이다. 또한 $A_{11} ∤ A_{12}$ 이므로 $A'_{11}$ 은

l (A'_{11}) < l (A_{11})

을 만족시킨다. ( $A_{11} ∤ A_{21}$ 인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면 $A$ 는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다.

(\begin{matrix} d_{1} & 0 \\ 0 & A^{'} \end{matrix})

d_{1} ∣ A'_{i j} (\forall i, j)

다시 $A^{'}$ 에 대하여 같은 과정을 반복하면 $A$ 와 동치인 다음과 같은 꼴의 행렬을 얻는다.

(\begin{matrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \\ A^{″} \end{matrix})

d_{1} ∣ d_{2} ∣ A^{'}'_{i j} (\forall i, j)

여기서 $d_{1} ∣ d_{2}$ 인 이유는 $d_{2}$ 가 $A^{'}$ 의 성분의 선형 결합이기 때문이다.

위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다.

예

유리수 계수 다항식환 $ℚ [x]$ 위의 행렬

(\begin{matrix} x + 3 & 1 & 1 \\ 2 & x + 2 & 1 \\ - 6 & - 3 & x - 2 \end{matrix})

의 스미스 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{matrix} (\begin{matrix} x + 3 & 1 & 1 \\ 2 & x + 2 & 1 \\ - 6 & - 3 & x - 2 \end{matrix}) & \sim (\begin{matrix} 1 & 1 & x + 3 \\ 1 & x + 2 & 2 \\ x - 2 & - 3 & - 6 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 1 & x + 3 \\ 0 & x + 1 & - x - 1 \\ 0 & - x - 1 & - x^{2} - x \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & - x - 1 \\ 0 & - x - 1 & - x^{2} - x \end{matrix}) \\ \sim (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & - x - 1 \\ 0 & 0 & - (x + 1)^{2} \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & 0 \\ 0 & 0 & - (x + 1)^{2} \end{matrix}) \\ \sim (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & 0 \\ 0 & 0 & (x + 1)^{2} \end{matrix}) \end{matrix}

응용

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 구조

스미스 표준형을 통해 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 불변 인자 분해를 유도할 수 있다.

역사

헨리 존 스티븐 스미스의 이름을 땄다.

같이 보기

외부 링크

스미스 표준형

목차

정의

알고리즘

예

응용

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 구조

역사

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