유리 표준형

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 유리 표준형(有理標準型, 틀:Llang) 또는 프로베니우스 표준형(Frobenius標準型, 틀:Llang)은 임의의 체를 성분으로 하는 정사각 행렬을 그와 닮은, 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.

정의

체 $K$를 계수로 하는 일계수 다항식

$p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots a_{\mathrm{deg}p-1}{x}^{\mathrm{deg}p-1}+x^{\mathrm{deg}p}\in K[x]$

$a_0,a_1,\dots ,a_{\mathrm{deg}p-1}\in K$

의 동반 행렬(同伴行列, 틀:Llang)은 다음과 같은 $\mathrm{deg}p\times \mathrm{deg}p$ 정사각 행렬이다.

$C(p)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots \\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{\mathrm{deg}p-1}\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(\mathrm{deg}p;K)$

유리 표준형

체 $K$ 위의 임의의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 $G\in \mathrm{GL}(n;K)$ 및 유일한 일계수 다항식 집합 $\{d_1,d_2,\dots ,d_k\}\subset K[x]$이 존재하며, $G^{-1}MG$를 $M$의 (불변 인자) 유리 표준형(틀:Llang)이라고 한다.

$G^{-1}MG=\mathrm{diag}(C(d_1),C(d_2),\dots ,C(d_k))$

$d_k(x)\mid d_{k-1}(x)\mid \cdots \mid d_1(x)$

$\mathrm{deg}{d}_i\ge 1(\mathrm{\forall }i\in \{1,2,\dots ,k\})$

이는 $M$으로 유도되는 $K[x]$-가군

$K^n$

$x\cdot v=Mv(\mathrm{\forall }v\in K^n)$

의 불변 인자 분해

$K^n\cong K[x]/(d_1(x))\oplus K[x]/(d_2(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(d_k(x))$

에서, $M$에 대응하는 $K$-선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

$\{1+(d_i(x)),x+(d_i(x)),\dots ,x^{\mathrm{deg}{d}_i-1}+(d_i(x))\}\subset K[x]/(d_i(x))(i=1,2,\dots ,k)$

으뜸 유리 표준형

체 $K$ 위의 임의의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $G\in \mathrm{GL}(n;K)$ 및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합 $\{p_1^{e_1},p_2^{e_2},\dots ,p_l^{e_l}\}\subset K[x]$이 존재하며, $G^{-1}MG$를 $M$의 으뜸 유리 표준형(틀:Llang) 또는 초등 인자 유리 표준형(틀:Llang)이라고 한다.

$G^{-1}MG=\mathrm{diag}(C(p_1^{e_1}),C(p_2^{e_2}),\dots ,C(p_l^{e_l}))$

이는 $K[x]$-가군

$K^n$

$x\cdot v=Mv(\mathrm{\forall }v\in K^n)$

의 으뜸 분해

$K^n\cong K[x]/(p_1^{e_1}(x))\oplus K[x]/(p_2^{e_2}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(p_l^{e_l}(x))$

에서, $K$-선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

$\{1+(p_i^{e_i}(x)),x+(p_i^{e_i}(x)),\dots ,x^{\mathrm{deg}(p_i^{e_i})-1}+(p_i^{e_i}(x))\}\subset K[x]/(p_i^{e_i}(x))(i=1,2,\dots ,l)$

역사와 어원

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다. ‘유리’(틀:Llang)라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.

같이 보기

• 스미스 표준형

외부 링크

• 틀:매스월드