산란 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 틀:양자장론 틀:접이식 사이드바 산란 이론에서 산란 행렬(散亂行列, 틀:Llang) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 소립자 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$
• 자기 수반 작용소 $H_0:\mathrm{dom}{H}_0\to \mathscr{H}$, $\mathrm{dom}{H}_0\subseteq \mathscr{H}$. 이를 자유 해밀토니언(틀:Llang)이라고 하자.
• 자기 수반 작용소 $H:\mathrm{dom}H\to \mathscr{H}$, $\mathrm{dom}H\subseteq \mathscr{H}$. 이를 상호 작용 해밀토니언(틀:Llang)이라고 하자.

복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 $A$에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 $\mathscr{H}$를

$\mathscr{H}={\mathscr{H}}_{\text{ac},A}\oplus {\mathscr{H}}_{\text{sc},A}\oplus {\mathscr{H}}_{\text{pp},A}$

로 분해할 수 있다. 여기서

• ${\mathscr{H}}_{\text{ac},A}$는 완전 연속 스펙트럼(틀:Llang)에 대응한다.
• ${\mathscr{H}}_{\text{sc},A}$는 특이 연속 스펙트럼(틀:Llang)에 대응한다.
• ${\mathscr{H}}_{\text{pp},A}$는 순수 점 스펙트럼(틀:Llang)에 대응한다.

마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소

${\mathrm{proj}}_{\text{ac},A},{\mathrm{proj}}_{\text{sc},A},{\mathrm{proj}}_{\text{pp},A}:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(틀:Llang)을 통해, $x\mapsto \exp (\mathrm{i}tx)$는 유계 함수이므로, 임의의 $t\in ℝ$에 대하여 유니터리 작용소

$\exp (\mathrm{i}t{H}_0):\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

$\exp (\mathrm{i}tH):\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

를 정의할 수 있다.

이제, $H_0$와 $H$에 대한 파동 연산자(波動演算子, 틀:Llang)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.틀:Rp

${\mathrm{W}}_{\pm }(H,H_0):\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

${\mathrm{W}}_{\pm }(H,H_0)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\exp (\pm \mathrm{i}Ht)\exp (\mp \mathrm{i}{H}_{0}t){\mathrm{proj}}_{\text{ac},H_0}$

여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 $W_{\pm }(H,H_0)$의 치역이 ${\mathscr{H}}_{\text{ac},H}$라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자(完備波動演算子, 틀:Llang)라고 하며,틀:Rp 이는 ${\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}$와 ${\mathscr{H}}_{\text{ac},H}$ 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

$H_0$와 $H$에 대한 산란 연산자(散亂演算子, 틀:Llang) 또는 산란 행렬은 다음과 같다.

$\mathrm{S}(H,H_0):\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

$\mathrm{S}(H,H_0)={\mathrm{W}}_{+}^{*}(H,H_0){\mathrm{W}}_{-}(H,H_0)$

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

$(\mathrm{S}(H,H_0)\upharpoonright {\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}):{\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}\to {\mathscr{H}}_{\text{ac},H}$

를 정의한다.

간혹 T 연산자를 $\mathrm{T}(H,H_0)=-\mathrm{i}(\mathrm{S}(H,H_0)-{\mathrm{proj}}_{\text{ac},H_0})$ 로 정의한다. 즉, ${\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}$에 제한하면, $\mathrm{S}=\mathrm{i}T$이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

성질

파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

${\mathrm{W}}_{\pm }(H,H_0)H_0=H{\mathrm{W}}_{\pm }(H,H_0)$

산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

$\mathrm{S}(H,H_0)H_0=H_0\mathrm{S}(H,H_0)$

위그너 정리에 따라, 만약 ${\mathrm{W}}_{\pm }(H,H_0)$가 둘 다 완비라면,

$\mathrm{S}(H,H_0)\upharpoonright {\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}$

는 ${\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}\to {\mathscr{H}}_{\text{ac},H_0}$ 유니터리 작용소이다.

존재 조건

르베그 공간 $\mathscr{H}={\mathrm{L}}^2({ℝ}^n;ℂ)$ 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자.

$H_0=\mathrm{\Delta }+V_0(x)$

$H_0=\mathrm{\Delta }+V_0(x)+V(x)$

$V_0,V\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n;ℝ)$

$\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }V(x)(1+x^2{)}^{k/2}<\mathrm{\infty }$

여기서 $k\in ℝ$는 어떤 실수이며, $\mathrm{\Delta }=-{\sum }_{i=1}^n{\partial }^2/\partial x_i^2$는 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.

• $k>n$틀:Rp
• $V_0=0$이며, $k>1$틀:Rp

반면, 예를 들어 $V_0=0$, $V(x)=(1+x^2{)}^{-2}$일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.틀:Rp

응용

하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 ${\mathscr{H}}_{\text{I}}$와 나중 상태의 포크 공간 ${\mathscr{H}}_{\text{F}}$를 다음과 같이 적을 수 있다.

${\mathscr{H}}_{\text{I}}=\mathrm{span}\{|k_1\dots k_n⟩=a_i^{†}(k_1)\cdots a_i^{†}(k_n){|I,0⟩}_{\text{I}}\}$

${\mathscr{H}}_{\text{F}}=\mathrm{span}\{|p_1\dots p_n⟩=a_f^{†}(p_1)\cdots a_f^{†}(p_n){|F,0⟩}_{\text{F}}\}$

이들은 자유 해밀토니언 $H_0$의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 $S$는 다음과 같이 표현된다.

${⟨\beta |}_{\text{I}}S{|\alpha ⟩}_{\text{I}}=S_{\alpha \beta }={⟨\beta {|}_{\text{F}}|\alpha ⟩}_{\text{I}}$.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

• $S|0⟩=|0⟩$ (진공에서의 항등성)
• $S|k⟩=|k⟩$ (단입자 상태에서의 항등성)

이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

역사

산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 파인먼 도형
• LSZ 축약 공식
• 윅의 정리
• S행렬이론