유리근 정리

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서, 유리근 정리(有理根定理, 틀:Llang)는 정수 계수 다항식의 유리수 근을 기약 분수로 나타내었을 때, 분자는 상수항을 나누고, 분모는 최고 차수 항의 계수를 나눈다는 정리이다. 3차 다항식의 경우, 유리근 정리를 통하여 기약 다항식 여부를 쉽게 알 수 있다.

정의

유일 인수 분해 정역 $R$ 의 다항식환을 $R [x]$ 라고 하고, 분수체를 $Frac R$ 라고 하자. 다항식

p (x) = r_{n} x^{n} + r_{n - 1} x^{n - 1} + \dots r_{1} x + r_{0} \in R [x]

가 분수체 원소 $r / s \in Frac R$ 를 근으로 가지며, $\gcd {r, s} = 1$ 이라고 하자. 유리근 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

r ∣ r_{0}

s ∣ r_{n}

특히, 만약 $p (x)$ 가 일계수 다항식이라면 ( $r_{n} = 1$ 이라면), $r / s \in R$ 는 환의 원소이다.^[1]틀:Rp 틀:증명 $r / s$ 가 $p (x)$ 의 근이므로,

\begin{matrix} 0 = s^{n} 0 = s^{n} p (\frac{r}{s}) & = s^{n} (r_{n} \frac{r^{n}}{s^{n}} + r_{n - 1} \frac{r^{n - 1}}{s^{n - 1}} + \dots r_{1} \frac{r}{s} + r_{0}) \\ = r_{n} r^{n} + r_{n - 1} r^{n - 1} s + \dots + r_{1} r s^{n - 1} + r_{0} s^{n} \end{matrix}

이다. 따라서

r ∣ - r_{n} r^{n} - r_{n - 1} r^{n - 1} s - \dots - r_{1} r s^{n - 1} = r_{0} s^{n}

s ∣ - r_{n - 1} r^{n - 1} s - \dots - r_{1} r s^{n - 1} - r_{0} s^{n} = r_{n} r^{n}

이다. 또한, $\gcd {r, s^{n}} = \gcd {s, r^{n}} = 1$ 이므로,

r ∣ r_{0}

s ∣ r_{n}