가우스-뤼카 정리

정의

복소수 다항식 $p \in ℂ [z]$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 $p^{'}$ 의 영점은 $p$ 의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 가우스-뤼카 정리라고 한다.

다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.^[1]

이를 위해 $p$ 의 (중복도를 고려한) 영점을 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 이라고 하고, $a_{1}, \dots, a_{n} \in H$ 라고 하자. 또한 $z \in ℂ ∖ H$ 라고 하자. 그러면 $p (z) \neq 0$ 이므로, 다음이 성립한다.

\frac{p^{'} (z)}{p (z)} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{z - a_{k}}

이는 $p$ 에 로그를 취한 뒤 $z$ 에서의 도함수를 취하여 얻는다. $H$ 는 어떤 유향 직선 $t \mapsto a + b t$ 의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.

H = {z \in ℂ : Im \frac{z - a}{b} < 0}

따라서, 각 $k \in {1, \dots, n}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

Im \frac{z - a_{k}}{b} = Im \frac{z - a}{b} - Im \frac{a_{k} - a}{b} > 0

역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.

Im \frac{b}{z - a_{k}} < 0

이에 따라 다음이 성립한다.

Im \frac{b p^{'} (z)}{p (z)} = \sum_{k = 1}^{n} Im \frac{b}{z - a_{k}} < 0

즉, $p^{'} (z) \neq 0$ 이다.