뉴턴 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 뉴턴 항등식(-恒等式, 틀:Lang)은 멱합과 기본대칭식에 대한 항등식이다.

멱합, 기본대칭식

멱합 다항식 $s_k$는 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^k$로 정의된 대칭다항식이다. 즉,

$s_0=n$

$s_1=x_1+\cdots +x_n$

$s_2=x_1^2+\cdots +x_n^2$

$\cdots$

기본대칭다항식 ${\sigma }_k$는 $\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}\cdots x_{i_k}$로 정의된다. 즉,

${\sigma }_0=1$

${\sigma }_1=x_1+\cdots +x_n(=s_1)$

${\sigma }_2=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j$

$\cdots$

${\sigma }_n=x_1\cdots x_n$

${\sigma }_{n+k}=0,k>0$

기본대칭다항식은 $x_1,\cdots ,x_n$을 근으로 하는 다항식의 계수로부터 유도된다.

$\prod _{i=1}^n(x-x_i)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\sigma }_k{x}^{n-k}$

내용

임의의 대칭다항식이 기본대칭다항식의 다항식으로 표현되듯이, 멱합 다항식도 그러하다. 뉴턴 항등식은 멱합의 기본대칭식에 의한 표현하는 재귀적인 방법을 제시한다.

$-s_k=-{\sigma }_1{s}_{k-1}+{\sigma }_2{s}_{k-2}-\cdots +(-1{)}^{k-1}{\sigma }_{k-1}{s}_1+(-1{)}^{k}k{\sigma }_k$

우변은 마지막 항을 제외해야만 규칙적임에 주의하자. $k>n$이면, 뒤에 오는 몇 항이 소실되므로

$-s_k=-{\sigma }_1{s}_{k-1}+{\sigma }_2{s}_{k-2}-\cdots +(-1{)}^n{\sigma }_n{s}_{k-n}$

이 성립한다.

응용

뉴턴 항등식에 따라, 다항식의 복소수 근의 거듭제곱합

$s_k=x_1^k+\cdots +x_n^k$

및 그들로 표현되는 중근 판별식

$\prod _{i>j}(x_i-x_j{)}^2=\det V{V}^T=\det [s_{i+j-2}{]}_{i,j=1}^n$

은 모두 다항식의 계수로도 표현된다.

같이 보기

• 기본 대칭 다항식
• 뉴턴의 부등식
• 대칭 함수