빛원뿔 좌표계

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 빛원뿔 좌표계(빛圓뿔座標系, 틀:Llang) 또는 광추 좌표계(光錐座標系)란 민코프스키 공간의 좌표계의 하나다. 이 좌표계에서는 공간의 한 특정한 방향을 차별하여, 그 방향에 대한 인과성 구조를 명확히 드러낸다.

정의

$(1,D-1)$차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계 $(x^0,x^1,\dots ,x^{D-1})$를 생각하자. 직교 좌표계에서는 그 계량 텐서는

$d{s}^2=-(d{x}^0{)}^2+\sum _{i=1}^{D-1}(d{x}^i{)}^2$

가 된다. 여기서

$x^{\pm }=(x^1\pm x^0)/\sqrt{2}$

를 정의하면, 빛원뿔 좌표계는 $(x^{+},x^{-},x^2,\dots ,x^{D-1})$이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같다.

$d{s}^2=2d{x}^{+}d{x}^{-}+\sum _{i=2}^{D-1}(d{x}^i{)}^2$

이 경우,

$x_{\pm }=2x^{\mp }$

가 된다.

무질량 입자의 1차 양자화

빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 질량이 0인 입자나 막 따위를 다룰 때 용이하다.

예를 들어, $(1,D-1)$차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각하자. 질량이 0이므로, 이는

$\mathrm{SO}(2,D)$

등각 대칭을 갖는다.

이 입자의 작용은

$S=\int \mathrm{d}t\frac{1}{2}e(t{)}^2{\dot{x}}^{\mu }(t){\dot{x}}_{\mu }(x)$

이다. 여기서 $t\in ℝ$는 세계선의 임의의 좌표이며,

$x^{\mu }:ℝ\to {ℝ}^{1,D-1}$

는 입자의 위치를 나타내는 $t$의 함수이며,

${\dot{x}}^{\mu }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}^{\mu }$

는 $t$에 대한 속력이며,

$e:ℝ\to {ℝ}^{+}$

는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용에서는 등각 대칭이 명백히 드러나지 못한다.

이를 위하여, 가상의 “시간” 차원과 “공간” 차원을 추가하여, 민코프스키 공간 ${ℝ}^{2,D}$을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.틀:Rp

$S=\int \mathrm{d}t(\frac{1}{2}{\dot{X}}^M{\dot{X}}_M-\frac{1}{2}\lambda X^M{X}_M)$

$X^M:ℝ\to {ℝ}^{2,D}$

$\lambda :ℝ\to ℝ$

이는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.

$\delta X(t)=ϵ(t){\dot{X}}^M(t)-\frac{1}{2}\dot{ϵ}(t)X^M$

$\delta \lambda (t)=ϵ(t)\dot{\lambda }(t)+2\dot{ϵ}(t)\lambda (t)+\frac{1}{2}\stackrel{\cdots }{ϵ}(t)$

이제, 보조장 $\lambda$의 운동 방정식은

$X^M{X}_M=0$

이다. 새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를

$X^M{X}_M=X^{\mu }{X}_{\mu }+2X_{+}{X}_{-}$

라고 하자. 그렇다면,

$X_{-}=-\frac{X^{\mu }{X}_{\mu }}{2X_{+}}$

가 된다. 이제

$e=X_{+}$

$x^{\mu }=X^{\mu }/X_{+}$

로 놓으면,

$S=\frac{1}{2}\int \mathrm{d}t{\dot{X}}^M{\dot{X}}_M=\frac{1}{2}\int \mathrm{d}t(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e{x}^{\mu })\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e{x}_{\mu })-\dot{e}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x^{\mu }{x}_{\mu }e))=\frac{1}{2}\int \mathrm{d}t{e}^2{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}_{\mu }$

가 되어, 원래 작용을 얻게 된다.