무중심군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서, 무중심군(無中心群, 틀:Llang)은 그 중심이 자명군인 군이다. 완비군(完備群, 틀:Llang)은 내부 자기 동형만을 갖는 무중심군이다.

정의

군 $G$의 중심 $\mathrm{Z}(G)$이 자명군이라면, $G$를 무중심군이라고 한다. 군 $G$가 무중심군이며, 모든 자기 동형이 내부 자기 동형이라면, $G$를 완비군이라고 한다.

성질

군 $G$에 대하여, 그 자기 동형군으로의 자연스러운 군 준동형

$G\to \mathrm{Aut}(G)$

$g\mapsto (h\mapsto gh{g}^{-1})$

을 생각하자. 이 군 준동형의 핵은 중심 $\mathrm{Z}(G)$이며, 상은 내부 자기 동형군 $\mathrm{Inn}(G)$이다. 따라서, 무중심군은 위 군 준동형이 단사 함수가 되어, $G$가 그 자기 동형군의 부분군과 자연스럽게 동형인 조건과 같다. 완비군은 위 군 준동형이 전단사 함수가 되어, $G$가 그 자기 동형군과 자연스럽게 동형인 조건과 같다. (내부 자기 동형에 의하지 않은 동형이 존재할 수 있으므로, 전자는 자기 동형군의 부분군과 동형인 것보다 강한 조건이며, 후자는 자기 동형군과 동형인 조건보다 더 강하다.)

자기 동형탑

틀:본문 임의의 무중심군 $G$의 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(G)$는 무중심군이다. 따라서, $G$의 자기 동형탑

$G⊲\mathrm{Aut}(G)⊲\mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(G))⊲\cdots ⊲{\mathrm{Aut}}^{\omega }(G)⊲{\mathrm{Aut}}^{\omega +1}(G)⊲\cdots$

은 일련의 (정규) 부분군들의 열이다. 임의의 무중심 유한군의 자기 동형탑은 어떤 유한한 시점부터 커지는 것을 멈춘다. 이는 헬무트 빌란트(틀:Llang)가 1939년에 증명하였다.틀:Rp 무한 기수 $\kappa$가 주어졌을 때, 임의의 크기 $\kappa$의 무중심군의 자기 동형탑은 $(2^{\kappa }{)}^{+}$ 미만의 어떤 시점부터 커지는 것을 멈춘다.

위상수학적 성질

임의의 무중심군 $G$의 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(G)$는 유일한 폴란드 군 구조를 갖는다.

예

$n$차 대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$이 완비군일 필요충분조건은 $n\ne 2,6$이다.

외부 링크

• 틀:Eom