모스 호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 미분위상수학에서 모스 호몰로지(틀:Llang)는 콤팩트 매끄러운 다양체의 호몰로지를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다. 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 모스 이론의 일부이다.

정의

모스-스메일 함수

기울이지 않은 원환면 위의 높이 함수는 모스 함수이지만, 안장점에서 횡단 교차 조건을 충족시키지 못하여 모스-스메일 함수가 아니다.

살짝 기울인 원환면 위의 높이 함수는 모스-스메일 함수이다.

콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위에 임의의 리만 계량 $g$와 모스 함수 $f$를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 $\mathrm{\nabla }f\in \mathrm{\Gamma }(TM)$을 정의할 수 있다. 각 임계점 $x\in M$에 대하여, $\mathrm{\nabla }f$의 안정 부분 공간(stable subspace) $W^{\text{s}}(x)$과 불안정 부분 공간(unstable subspace) $W^{\text{u}}(x)$을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차(틀:Lang)한다면 (즉, 모든 $y\in W^{\text{s}}(x)\cap W^{\text{u}}(x)$에서 $T_{y}M=T_y{W}^{\text{s}}(x)\oplus T_y{W}^{\text{u}}(x)$이라면) 순서쌍 $(g,f)$를 모스-스메일 함수(Morse-Smale函數, 틀:Llang)라고 한다. 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

모스 호몰로지의 고전적 정의

$f$의 기울기 흐름(틀:Llang)은 $f$의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 $x_i$, $x_j$ 사이의 기울기 흐름들의 모듈라이 공간 $ℱ(x_i,x_j)$을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

$\dim ℱ(x_i,x_j)=|\gamma (x_i)-\gamma (x_j)|$

모스-스메일 함수 $(g,f)$가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위에, 모스 사슬 복합체(Morse사슬複合體, 틀:Llang) $C_i(M)$는 모스 지표가 $i$인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

${\partial }_i:C_i(M)\to C_{i-1}(M)$

는 $x_i\in C_i(M)$을 $x_i$로부터 시작하는 $f$의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

$H_{\text{M}}(M)=\ker {\partial }_i/\mathrm{im}{\partial }_{i+1}$

를 모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

모스-위튼 코호몰로지

모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지와 호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 발견하였고, 모스-위튼 코호몰로지(틀:Llang)라고 불린다.

모스 함수 $f$가 주어진 콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$ 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

$d_t=\exp (-tf)d\exp (tf)$

$d_t^{†}=\exp (-tf)d^{†}\exp (tf)$

${\mathrm{\Delta }}_t=d_t{d}_t^{†}+d_t^{†}{d}_t$

그렇다면 ${\mathrm{\Delta }}_t$의 고윳값에 따라, $M$ 위의 $k$차 미분 형식들의 공간 ${\mathrm{\Omega }}^k$을 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\mathrm{\Omega }}^k=\underset{\lambda }{⨁}{\mathrm{\Omega }}_{\lambda }^k(t)$

${\mathrm{\Delta }}_t\alpha =\lambda \alpha \mathrm{\forall }\alpha \in {\mathrm{\Omega }}_{\lambda }^k(t)$

이 경우, $t=0$일 때 호지 이론에 따라서

${\mathrm{\Omega }}_0^k(0)\cong H_{\text{dR}}^k(M)$

이다. 여기서 $H_{\text{dR}}^{\bullet }$은 드람 코호몰로지다. 반면, $t\to \mathrm{\infty }$로 보내자. 그렇다면 ${\mathrm{\Omega }}_0^k(\mathrm{\infty })$는 모스 지표가 $k$인 임계점 근처에 국소화된 $k$차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

$\dim {\mathrm{\Omega }}_0^k(\mathrm{\infty })=N_k$

이다. 여기서 $N_k$는 모스 지표가 $k$인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(Morse-Witten複合體, 틀:Llang)가 존재한다.

${\mathrm{\Omega }}_0^1(\mathrm{\infty })\stackrel{d_{\mathrm{\infty }}}{\to }{\mathrm{\Omega }}_0^1(\mathrm{\infty })\stackrel{d_{\mathrm{\infty }}}{\to }\cdots \stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}_0^k(\mathrm{\infty })\stackrel{d_{\mathrm{\infty }}}{\to }{\mathrm{\Omega }}_0^{k+1}(\mathrm{\infty })\stackrel{d_{\mathrm{\infty }}}{\to }\cdots$

여기서 공경계 연산자 $d_{\mathrm{\infty }}$는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다.

이는 $M$을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

기호	수학적 설명	물리학적 설명
$C^{\mathrm{\infty }}(M;ℂ)$	$M$ 위의 매끄러운 함수들	$M$ 위의 보손들의 힐베르트 공간
${\mathrm{\Omega }}^k(M)\otimes ℂ$	$M$ 위의 $k$차 미분 형식들의 공간	페르미온 수가 $k$인 상태들의 힐베르트 공간
$d:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$	외미분	초대칭 연산자의 하나
$d^{†}:{\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)\to {\mathrm{\Omega }}^k(M)$	외미분의 수반(adjoint)	초대칭 연산자의 하나
$\mathrm{\Delta }=d{d}^{†}+d^{†}d$	라플라스-벨트라미 연산자	자유 입자의 해밀토니언
${\mathrm{\Omega }}_0^k(\mathrm{\infty })$	모스 지표가 $k$인 임계점들로 생성되는 벡터 공간	페르미온 수가 $k$인 섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간
$d_{\mathrm{\infty }}^k:{\mathrm{\Omega }}_0^k(\mathrm{\infty })\to {\mathrm{\Omega }}_0^{k+1}(\mathrm{\infty })$	모스-위튼 복합체의 공경계 연산자	순간자로 매개되는 터널 효과
$H_{\text{MW}}^k=\ker d_{\mathrm{\infty }}^k/\mathrm{im}{d}_{\mathrm{\infty }}^{k-1}$	모스-위튼 코호몰로지 군	참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간

역사

마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 1934년에 도입하였다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(Morse-Bott理論, 틀:Llang)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성(틀:Llang)을 증명하였다.

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(Morse-Witten理論, 틀:Llang)이라고 한다. 1988년에 안드레아스 플뢰어(틀:Llang)는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 플뢰어 호몰로지를 정의하였다.

같이 보기

• 초대칭 양자역학
• 플뢰어 호몰로지

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab